Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$ par $\frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}} \cdot \frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{- 2 + \sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}}$ par $\frac{5 - \sqrt{2}}{5 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{(5 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{25 - 5 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 5 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})}{23}$

Étape 3

Développez $(- 2 + \sqrt{2}) (5 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 (5 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (5 - \sqrt{2})}{23}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (5 - \sqrt{2})}{23}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10 - 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Étape 4.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{23}$

Étape 4.1.4

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{23}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{23}$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{23}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{23}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{23}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{23}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{23}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{23}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2^{1}}{23}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{23}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 10 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 2}{23}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $- 10$ .

$\frac{- 12 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{23}$

Étape 4.3

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 12 + 7 \sqrt{2}}{23}$

Étape 5

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\frac{- 1 (12) + 7 \sqrt{2}}{23}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $7 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 (12) - (- 7 \sqrt{2})}{23}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (12) - (- 7 \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (12 - 7 \sqrt{2})}{23}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 - 7 \sqrt{2}}{23}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{12 - 7 \sqrt{2}}{23}$

Forme décimale :

$- 0.09132630 \dots$