Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 a + 4}{18 a^{2} - 2} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 a + 4$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 4}{18 a^{2} - 2} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 a + 2 \cdot 2}{18 a^{2} - 2} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 a + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (a + 2)}{18 a^{2} - 2} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 a^{2} - 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18 a^{2}$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (9 a^{2}) - 2} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (9 a^{2}) + 2 (- 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 a^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (9 a^{2} - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2.2

Réécrivez $9 a^{2}$ comme ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 ({(3 a)}^{2} - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 ({(3 a)}^{2} - 1^{2})} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 a$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 a$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 16 (a) + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 1$ plus $- 15$

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} + (- 1 - 15) a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 1 a - 15 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a^{2} - 1 a) - 15 a + 5}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{a (3 a - 1) - 5 (3 a - 1)}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 a - 1$ .

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{a^{2} - 3 a - 10}$

Étape 4

Factorisez $a^{2} - 3 a - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (a + 2)}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{(a - 5) (a + 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a + 2$ à partir de $2 (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) \cdot 2}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{(a - 5) (a + 2)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a + 2$ à partir de $(a - 5) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) \cdot 2}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{(a + 2) (a - 5)}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 2) \cdot 2}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{(a + 2) (a - 5)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 (3 a + 1) (3 a - 1)} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{a - 5}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $3 a - 1$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 a - 1$ à partir de $2 (3 a + 1) (3 a - 1)$ .

$\frac{2}{(3 a - 1) (2 (3 a + 1))} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{a - 5}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{(3 a - 1) (2 (3 a + 1))} \cdot \frac{(3 a - 1) (a - 5)}{a - 5}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 (3 a + 1)} \cdot \frac{a - 5}{a - 5}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{2}{2 (3 a + 1)}$ par $\frac{a - 5}{a - 5}$ .

$\frac{2 (a - 5)}{2 (3 a + 1) (a - 5)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (a - 5)}{2 (3 a + 1) (a - 5)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 5}{(3 a + 1) (a - 5)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $a - 5$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 5}{(3 a + 1) (a - 5)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 a + 1}$