Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{a^{2 + a}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ par $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{a^{2 + a}}$ par $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $a$ par $a^{2 + a}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Déplacez $a^{2 + a}$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.1.2

Multipliez $a^{2 + a}$ par $a$ .

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Étape 6.1.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a^{1}) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{2 + a + 1} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.2

Développez $(a + 1) (a - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a^{a + 3} + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.1.3

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.2

Additionnez $- a$ et $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + 0 - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.3.3

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + 2 a^{a + 3} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$