Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 - 9 i}{1 + i} + \frac{9 - 7 i}{1 + i}$

Étape 1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 9 i + 9 - 7 i}{1 + i}$

Étape 2

Additionnez $2$ et $9$ .

$\frac{11 - 9 i - 7 i}{1 + i}$

Étape 3

Soustrayez $7 i$ de $- 9 i$ .

$\frac{11 - 16 i}{1 + i}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{11 - 16 i}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{11 - 16 i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(11 - 16 i) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Développez $(11 - 16 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 (1 - i) - 16 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- i) - 16 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- i) - 16 i \cdot 1 - 16 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{11 + 11 (- i) - 16 i \cdot 1 - 16 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i \cdot 1 - 16 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i - 16 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $- 16 i (- i)$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 i i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i + 16 \cdot - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.1.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{11 - 11 i - 16 i - 16}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $16$ de $11$ .

$\frac{- 5 - 11 i - 16 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $16 i$ de $- 11 i$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 27 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 27 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 27 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 5.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 5.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - i^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 - - 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{1 + 1}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 - 27 i}{2}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{- 5 - 27 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{- 5}{2} + \frac{- 27 i}{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2} + \frac{- 27 i}{2}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2} - \frac{27 i}{2}$