Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 y}{y + 3} + \frac{3 y}{y - 3} + \frac{- y^{2} + 3}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 y}{y + 3} + \frac{3 y}{y - 3} + \frac{- y^{2} + 3}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{2 y}{y + 3} + \frac{3 y}{y - 3} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 y}{y + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{2 y}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} + \frac{3 y}{y - 3} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3 y}{y - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} + \frac{3 y}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 3) (y - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 y}{y + 3}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{2 y (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{3 y}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 y}{y - 3}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{3 y (y + 3)}{(y - 3) (y + 3)} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{2 y (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{3 y (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y (y - 3) + 3 y (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{- y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y (y - 3) + 3 y (y + 3) - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 + 3 y (y + 3) - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 3 + 3 y (y + 3) - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot - 3 + 3 y (y + 3) - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 y^{2} - 6 y + 3 y (y + 3) - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{2} - 6 y + 3 y \cdot y + 3 y \cdot 3 - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 6 y + 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 3 - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 6 y + 3 y^{2} + 3 y \cdot 3 - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 y^{2} - 6 y + 3 y^{2} + 9 y - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $2 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{5 y^{2} - 6 y + 9 y - y^{2} + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.2

Soustrayez $y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 6 y + 9 y + 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.3

Additionnez $- 6 y$ et $9 y$ .

$\frac{4 y^{2} + 3 y + 3}{(y + 3) (y - 3)}$