Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 y}{y^{2} - 5 y + 6} - \frac{8}{y^{2} - 6 y + 8}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} - 5 y + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)} - \frac{8}{y^{2} - 6 y + 8}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} - 6 y + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)} - \frac{8}{(y - 4) (y - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} - \frac{8}{(y - 4) (y - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{8}{(y - 4) (y - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4} - \frac{8}{(y - 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 3) (y - 2) (y - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 y}{(y - 3) (y - 2)}$ par $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{2 y (y - 4)}{(y - 3) (y - 2) (y - 4)} - \frac{8}{(y - 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{8}{(y - 4) (y - 2)}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{2 y (y - 4)}{(y - 3) (y - 2) (y - 4)} - \frac{8 (y - 3)}{(y - 4) (y - 2) (y - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 3) (y - 2) (y - 4)$ .

$\frac{2 y (y - 4)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)} - \frac{8 (y - 3)}{(y - 4) (y - 2) (y - 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(y - 4) (y - 2) (y - 3)$ .

$\frac{2 y (y - 4)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)} - \frac{8 (y - 3)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y (y - 4) - 8 (y - 3)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (y - 4) - 8 (y - 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (y - 4)$ .

$\frac{2 (y (y - 4)) - 8 (y - 3)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 (y - 3)$ .

$\frac{2 (y (y - 4)) + 2 (- 4 (y - 3))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y (y - 4)) + 2 (- 4 (y - 3))$ .

$\frac{2 (y (y - 4) - 4 (y - 3))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 3))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{2 (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 (y - 3))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 (y^{2} - 4 \cdot y - 4 (y - 3))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 4 y - 4 \cdot - 3)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 4 y + 12)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.7

Soustrayez $4 y$ de $- 4 y$ .

$\frac{2 (y^{2} - 8 y + 12)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 6.8

Factorisez $y^{2} - 8 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 6.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 ((y - 6) (y - 2))}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

$\frac{2 (y - 6) (y - 2)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y - 6) (y - 2)}{(y - 2) (y - 3) (y - 4)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (y - 6)}{(y - 3) (y - 4)}$