Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 z + 5 z - 12}{z^{2} + 10 z + 24} + \frac{z^{2} + 4 z + 7}{z^{2} + 10 z + 24} - \frac{2 z^{2} + 5 z + z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2} + 5 z + z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Additionnez $5 z$ et $z$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2} + 6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - (2 z^{2}) - (6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - (6 z)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 2.4

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{3 z + 5 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1

Additionnez $3 z$ et $5 z$ .

$\frac{8 z - 12 + z^{2} + 4 z + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3.2

Additionnez $8 z$ et $4 z$ .

$\frac{12 z - 12 + z^{2} + 7 - 2 z^{2} - 6 z}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3.3

Soustrayez $6 z$ de $12 z$ .

$\frac{6 z - 12 + z^{2} + 7 - 2 z^{2}}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3.4

Additionnez $- 12$ et $7$ .

$\frac{6 z + z^{2} - 5 - 2 z^{2}}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3.5

Soustrayez $2 z^{2}$ de $z^{2}$ .

$\frac{6 z - z^{2} - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 3.6

Remettez dans l’ordre $6 z$ et $- z^{2}$ .

$\frac{- z^{2} + 6 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 z$ .

$\frac{- z^{2} + 6 (z) - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $6$ comme $1$ plus $5$

$\frac{- z^{2} + (1 + 5) z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- z^{2} + 1 z + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.1.4

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{- z^{2} + z + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- z^{2} + z) + 5 z - 5}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{z (- z + 1) - 5 (- z + 1)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- z + 1$ .

$\frac{(- z + 1) (z - 5)}{z^{2} + 10 z + 24}$

Étape 5

Factorisez $z^{2} + 10 z + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $10$ .

$4, 6$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(- z + 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- z$ .

$\frac{(- (z) + 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (z) - 1 (- 1)) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (z) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (z - 1)$ comme $- 1 (z - 1)$ .

$\frac{- 1 (z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(z - 1) (z - 5)}{(z + 4) (z + 6)}$