Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 3 n - 27}{n - 3} \cdot \frac{n^{3} + n^{2} - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 n - 27$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 n$ .

$\frac{3 (- n) - 27}{n - 3} \cdot \frac{n^{3} + n^{2} - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{3 (- n) + 3 (- 9)}{n - 3} \cdot \frac{n^{3} + n^{2} - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- n) + 3 (- 9)$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n^{3} + n^{2} - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{3} + n^{2} - 12 n$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{3}$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n \cdot n^{2} + n^{2} - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2.1.2

Factorisez $n$ à partir de $n^{2}$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n \cdot n^{2} + n \cdot n - 12 n}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2.1.3

Factorisez $n$ à partir de $- 12 n$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n \cdot n^{2} + n \cdot n + n \cdot - 12}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2.1.4

Factorisez $n$ à partir de $n \cdot n^{2} + n \cdot n$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n^{2} + n) + n \cdot - 12}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2.1.5

Factorisez $n$ à partir de $n (n^{2} + n) + n \cdot - 12$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n^{2} + n - 12)}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 2.2

Factorisez $n^{2} + n - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n ((n - 3) (n + 4))}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n^{3} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{3} + 4 n^{2} - 45 n$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{3}$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n \cdot n^{2} + 4 n^{2} - 45 n}$

Étape 3.1.2

Factorisez $n$ à partir de $4 n^{2}$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n \cdot n^{2} + n (4 n) - 45 n}$

Étape 3.1.3

Factorisez $n$ à partir de $- 45 n$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n \cdot n^{2} + n (4 n) + n \cdot - 45}$

Étape 3.1.4

Factorisez $n$ à partir de $n \cdot n^{2} + n (4 n)$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n (n^{2} + 4 n) + n \cdot - 45}$

Étape 3.1.5

Factorisez $n$ à partir de $n (n^{2} + 4 n) + n \cdot - 45$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n (n^{2} + 4 n - 45)}$

Étape 3.2

Factorisez $n^{2} + 4 n - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $4$ .

$- 5, 9$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n ((n - 5) (n + 9))}$

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{n (n - 3) (n + 4)}{n (n - 5) (n + 9)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $n - 3$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $n - 3$ à partir de $n (n - 3) (n + 4)$ .

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{(n - 3) (n (n + 4))}{n (n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- n - 9)}{n - 3} \cdot \frac{(n - 3) (n (n + 4))}{n (n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 (- n - 9) \cdot \frac{n (n + 4)}{n (n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.2

Associez $\frac{n (n + 4)}{n (n - 5) (n + 9)}$ et $3$ .

$\frac{n (n + 4) \cdot 3}{n (n - 5) (n + 9)} (- n - 9)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n (n + 4) \cdot 3}{n (n - 5) (n + 9)} (- n - 9)$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(n + 4) \cdot 3}{(n - 5) (n + 9)} (- n - 9)$

Étape 4.4

Déplacez $3$ à gauche de $n + 4$ .

$\frac{3 \cdot (n + 4)}{(n - 5) (n + 9)} (- n - 9)$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{3 (n + 4)}{(n - 5) (n + 9)}$ par $- n - 9$ .

$\frac{3 (n + 4) (- n - 9)}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $- n - 9$ et $n + 9$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$\frac{3 (n + 4) (- (n) - 9)}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{3 (n + 4) (- (n) - 1 (9))}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (n) - 1 (9)$ .

$\frac{3 (n + 4) (- (n + 9))}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6.4

Réécrivez $- (n + 9)$ comme $- 1 (n + 9)$ .

$\frac{3 (n + 4) (- 1 (n + 9))}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (n + 4) (- 1 (n + 9))}{(n - 5) (n + 9)}$

Étape 4.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (n + 4) \cdot (- 1)}{n - 5}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 (n + 4)}{n - 5}$

Étape 4.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (n + 4)}{n - 5}$