Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 a + 2 b}{2 + b} - \frac{3 a - 2 b}{2 a - b}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{3 a + 2 b}{2 + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{3 a + 2 b}{2 + b} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b} - \frac{3 a - 2 b}{2 a - b}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{3 a - 2 b}{2 a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 + b}{2 + b}$ .

$\frac{3 a + 2 b}{2 + b} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b} - \frac{3 a - 2 b}{2 a - b} \cdot \frac{2 + b}{2 + b}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 + b) (2 a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 a + 2 b}{2 + b}$ par $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (2 a - b)}{(2 + b) (2 a - b)} - \frac{3 a - 2 b}{2 a - b} \cdot \frac{2 + b}{2 + b}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{3 a - 2 b}{2 a - b}$ par $\frac{2 + b}{2 + b}$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (2 a - b)}{(2 + b) (2 a - b)} - \frac{(3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 a - b) (2 + b)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 a - b) (2 + b)$ .

$\frac{(3 a + 2 b) (2 a - b)}{(2 + b) (2 a - b)} - \frac{(3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 a + 2 b) (2 a - b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(3 a + 2 b) (2 a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a (2 a - b) + 2 b (2 a - b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a (2 a) + 3 a (- b) + 2 b (2 a - b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a (2 a) + 3 a (- b) + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 2 a \cdot a + 3 a (- b) + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{3 \cdot 2 (a \cdot a) + 3 a (- b) + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{3 \cdot 2 a^{2} + 3 a (- b) + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 a^{2} + 3 a (- b) + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 a^{2} + 3 \cdot - 1 a b + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 2 b (2 a) + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 2 \cdot 2 b a + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 b a + 2 b (- b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 b a + 2 \cdot - 1 b \cdot b - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.9.1

Déplacez $b$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 b a + 2 \cdot - 1 (b \cdot b) - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 b a + 2 \cdot - 1 b^{2} - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 b a - 2 b^{2} - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 3 a b$ et $4 b a$ .

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{6 a^{2} - 3 a b + 4 a b - 2 b^{2} - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 3 a b$ et $4 a b$ .

$\frac{6 a^{2} + 1 a b - 2 b^{2} - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - (3 a - 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} + (- (3 a) - (- 2 b)) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} + (- 3 a - (- 2 b)) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} + (- 3 a + 2 b) (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.7

Développez $(- 3 a + 2 b) (2 + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 3 a (2 + b) + 2 b (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 3 a \cdot 2 - 3 a b + 2 b (2 + b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 3 a \cdot 2 - 3 a b + 2 b \cdot 2 + 2 b \cdot b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 6 a - 3 a b + 2 b \cdot 2 + 2 b \cdot b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 6 a - 3 a b + 4 b + 2 b \cdot b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.8.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.8.3.1

Déplacez $b$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 6 a - 3 a b + 4 b + 2 (b \cdot b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.8.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{6 a^{2} + a b - 2 b^{2} - 6 a - 3 a b + 4 b + 2 b^{2}}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.9

Soustrayez $3 a b$ de $a b$ .

$\frac{6 a^{2} - 2 b^{2} - 6 a - 2 a b + 4 b + 2 b^{2}}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.10

Additionnez $- 2 b^{2}$ et $2 b^{2}$ .

$\frac{6 a^{2} - 6 a - 2 a b + 4 b + 0}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.11

Additionnez $6 a^{2} - 6 a - 2 a b + 4 b$ et $0$ .

$\frac{6 a^{2} - 6 a - 2 a b + 4 b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12

Factorisez $2$ à partir de $6 a^{2} - 6 a - 2 a b + 4 b$ .

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Étape 5.12.1

Factorisez $2$ à partir de $6 a^{2}$ .

$\frac{2 (3 a^{2}) - 6 a - 2 a b + 4 b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 a$ .

$\frac{2 (3 a^{2}) + 2 (- 3 a) - 2 a b + 4 b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a b$ .

$\frac{2 (3 a^{2}) + 2 (- 3 a) + 2 (- a b) + 4 b}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.4

Factorisez $2$ à partir de $4 b$ .

$\frac{2 (3 a^{2}) + 2 (- 3 a) + 2 (- a b) + 2 (2 b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 a^{2}) + 2 (- 3 a)$ .

$\frac{2 (3 a^{2} - 3 a) + 2 (- a b) + 2 (2 b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 a^{2} - 3 a) + 2 (- a b)$ .

$\frac{2 (3 a^{2} - 3 a - a b) + 2 (2 b)}{(2 + b) (2 a - b)}$

Étape 5.12.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 a^{2} - 3 a - a b) + 2 (2 b)$ .

$\frac{2 (3 a^{2} - 3 a - a b + 2 b)}{(2 + b) (2 a - b)}$