Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 + \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{\frac{13}{5} + \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{\frac{13}{5} + \sqrt{\frac{1}{125}}}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{3 + \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{\frac{13}{5} + \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{5 (3 + \sqrt[3]{\frac{1}{5}})}{5 (\frac{13}{5} + \sqrt{\frac{1}{125}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{5 (\frac{13}{5}) + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{5 (\frac{13}{5}) + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 + 5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$\frac{15 + 5 \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{5}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{15 + 5 \frac{1}{\sqrt[3]{5}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{15 + 5 (\frac{1}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}})}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

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Étape 4.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 + 5 \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 + {\sqrt[3]{5}}^{2}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.7

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{5^{2}}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 4.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \sqrt{\frac{1}{125}}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{125}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{125}}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{125}}}$

Étape 5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{\sqrt{125}}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{\sqrt{25 (5)}}}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{5 (\sqrt{5})}}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + 5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{1}{\sqrt{5}}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}}$

Étape 5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 + \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Étape 5.7

Pour écrire $13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{13 \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Étape 5.8

Associez $13$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{\frac{13 \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5}}$

Étape 5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{\frac{13 \cdot 5 + \sqrt{5}}{5}}$

Étape 5.10

Multipliez $13$ par $5$ .

$\frac{15 + \sqrt[3]{25}}{\frac{65 + \sqrt{5}}{5}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5}{65 + \sqrt{5}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{5}{65 + \sqrt{5}}$ par $\frac{65 - \sqrt{5}}{65 - \sqrt{5}}$ .

$(15 + \sqrt[3]{25}) (\frac{5}{65 + \sqrt{5}} \cdot \frac{65 - \sqrt{5}}{65 - \sqrt{5}})$

Étape 8

Multipliez $\frac{5}{65 + \sqrt{5}}$ par $\frac{65 - \sqrt{5}}{65 - \sqrt{5}}$ .

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5 (65 - \sqrt{5})}{(65 + \sqrt{5}) (65 - \sqrt{5})}$

Étape 9

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5 (65 - \sqrt{5})}{4225 - 65 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 65 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5 (65 - \sqrt{5})}{4220}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $5$ à partir de $4220$ .

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5 (65 - \sqrt{5})}{5 \cdot 844}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{5 (65 - \sqrt{5})}{5 \cdot 844}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$(15 + \sqrt[3]{25}) \frac{65 - \sqrt{5}}{844}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 \frac{65 - \sqrt{5}}{844} + \sqrt[3]{25} \frac{65 - \sqrt{5}}{844}$

Étape 12.2

Associez $15$ et $\frac{65 - \sqrt{5}}{844}$ .

$\frac{15 (65 - \sqrt{5})}{844} + \sqrt[3]{25} \frac{65 - \sqrt{5}}{844}$

Étape 12.3

Associez $\sqrt[3]{25}$ et $\frac{65 - \sqrt{5}}{844}$ .

$\frac{15 (65 - \sqrt{5})}{844} + \frac{\sqrt[3]{25} (65 - \sqrt{5})}{844}$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 (65 - \sqrt{5}) + \sqrt[3]{25} (65 - \sqrt{5})}{844}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \cdot 65 + 15 (- \sqrt{5}) + \sqrt[3]{25} (65 - \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.2

Multipliez $15$ par $65$ .

$\frac{975 + 15 (- \sqrt{5}) + \sqrt[3]{25} (65 - \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + \sqrt[3]{25} (65 - \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + \sqrt[3]{25} \cdot 65 + \sqrt[3]{25} (- \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.5

Déplacez $65$ à gauche de $\sqrt[3]{25}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{25} (- \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.6

Multipliez $\sqrt[3]{25} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 13.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 13.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25}$ comme $25^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (25^{\frac{1}{3}} \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.6.1.2

Réécrivez $25^{\frac{1}{3}}$ comme $25^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (25^{\frac{2}{6}} \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.6.1.3

Réécrivez $25^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{25^{2}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (\sqrt[6]{25^{2}} \sqrt{5})}{844}$

Étape 13.6.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (\sqrt[6]{25^{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})}{844}$

Étape 13.6.1.5

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $5^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (\sqrt[6]{25^{2}} \cdot 5^{\frac{3}{6}})}{844}$

Étape 13.6.1.6

Réécrivez $5^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{5^{3}}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - (\sqrt[6]{25^{2}} \sqrt[6]{5^{3}})}{844}$

Étape 13.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{25^{2} \cdot 5^{3}}}{844}$

Étape 13.6.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{{(5^{2})}^{2} \cdot 5^{3}}}{844}$

Étape 13.6.4

Multipliez les exposants dans ${(5^{2})}^{2}$ .

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Étape 13.6.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{5^{2 \cdot 2} \cdot 5^{3}}}{844}$

Étape 13.6.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{5^{4} \cdot 5^{3}}}{844}$

Étape 13.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{5^{4 + 3}}}{844}$

Étape 13.6.6

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \cdot \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{5^{7}}}{844}$

Étape 13.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.7.1

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{78125}}{844}$

Étape 13.7.2

Réécrivez $78125$ comme $5^{6} \cdot 5$ .

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Étape 13.7.2.1

Factorisez $15625$ à partir de $78125$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{15625 (5)}}{844}$

Étape 13.7.2.2

Réécrivez $15625$ comme $5^{6}$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - \sqrt[6]{5^{6} \cdot 5}}{844}$

Étape 13.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - (5 \sqrt[6]{5})}{844}$

Étape 13.7.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - 5 \sqrt[6]{5}}{844}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{975 - 15 \sqrt{5} + 65 \sqrt[3]{25} - 5 \sqrt[6]{5}}{844}$

Forme décimale :

$1.33291686 \dots$