Mathématiques de base Exemples

$\frac{4 v - 1}{v^{2} - 3 v - 28} - \frac{v - 5}{v^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $v^{2} - 3 v - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 7, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{v^{2} - 16}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{v^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = v$ et $b = 4$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v - 4}{v - 4}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} \cdot \frac{v - 4}{v - 4} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v - 7}{v - 7}$ .

$\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)} \cdot \frac{v - 4}{v - 4} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)} \cdot \frac{v - 7}{v - 7}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(v - 7) (v + 4) (v - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4 v - 1}{(v - 7) (v + 4)}$ par $\frac{v - 4}{v - 4}$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v - 7) (v + 4) (v - 4)} - \frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)} \cdot \frac{v - 7}{v - 7}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{v - 5}{(v + 4) (v - 4)}$ par $\frac{v - 7}{v - 7}$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v - 7) (v + 4) (v - 4)} - \frac{(v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(v - 7) (v + 4) (v - 4)$ .

$\frac{(4 v - 1) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)} - \frac{(v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 v - 1) (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(4 v - 1) (v - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v (v - 4) - 1 (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v \cdot v + 4 v \cdot - 4 - 1 (v - 4) - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v \cdot v + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Déplacez $v$ .

$\frac{4 (v \cdot v) + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{4 v^{2} + 4 v \cdot - 4 - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - 1 v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $- 1 v$ comme $- v$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - v - 1 \cdot - 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 v^{2} - 16 v - v + 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $v$ de $- 16 v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - (v - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 + (- v - - 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 + (- v + 5) (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.5

Développez $(- v + 5) (v - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v (v - 7) + 5 (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v \cdot v - v \cdot - 7 + 5 (v - 7)}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v \cdot v - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - (v \cdot v) - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} - v \cdot - 7 + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 7 v + 5 v + 5 \cdot - 7}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 7 v + 5 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.6.2

Additionnez $7 v$ et $5 v$ .

$\frac{4 v^{2} - 17 v + 4 - v^{2} + 12 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.7

Soustrayez $v^{2}$ de $4 v^{2}$ .

$\frac{3 v^{2} - 17 v + 4 + 12 v - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.8

Additionnez $- 17 v$ et $12 v$ .

$\frac{3 v^{2} - 5 v + 4 - 35}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$

Étape 6.9

Soustrayez $35$ de $4$ .

$\frac{3 v^{2} - 5 v - 31}{(v + 4) (v - 4) (v - 7)}$