Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \div \frac{5 k^{2} + 6 k - 11}{25 k^{2} - 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 k$ .

$\frac{5 k^{2} - 4 (k) - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $1$ plus $- 5$

$\frac{5 k^{2} + (1 - 5) k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 k^{2} + 1 k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.1.4

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{5 k^{2} + k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 k^{2} + k) - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{k (5 k + 1) - (5 k + 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 11 = 55$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 (k) + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $16$ comme $5$ plus $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + (5 + 11) k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 5 k + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(5 k^{2} + 5 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25 k^{2}$ comme ${(5 k)}^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1^{2}}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 k$ et $b = 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 11 = - 55$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 (k) - 11}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $6$ comme $- 5$ plus $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + (- 5 + 11) k - 11}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} - 5 k + 11 k - 11}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(5 k^{2} - 5 k) + 11 k - 11}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k (k - 1) + 11 (k - 1)}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $k - 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $k - 1$ .

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Étape 6.1

Factorisez $k - 1$ à partir de $(5 k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$

Étape 7

Multipliez $\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)}$ par $\frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$ .

$\frac{(5 k + 1) ((5 k + 1) (5 k - 1))}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Étape 8

Élevez $5 k + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} (5 k + 1) (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Étape 9

Élevez $5 k + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} {(5 k + 1)}^{1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(5 k + 1)}^{1 + 1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Étape 12

Élevez $5 k + 11$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} (5 k + 11))}$

Étape 13

Élevez $5 k + 11$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} {(5 k + 11)}^{1})}$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{1 + 1}}$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{2}}$