Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 b^{2} + 13 b - 6}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 b$ .

$\frac{5 b^{2} + 13 (b) - 6}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $13$ comme $- 2$ plus $15$

$\frac{5 b^{2} + (- 2 + 15) b - 6}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 b^{2} - 2 b + 15 b - 6}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 b^{2} - 2 b) + 15 b - 6}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{b (5 b - 2) + 3 (5 b - 2)}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 b - 2$ .

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{b^{2} + b - 6} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 2

Factorisez $b^{2} + b - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{b^{2} - 4}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{b^{2} - 2^{2}}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = 2$ .

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{5 b^{2} + 8 b - 4}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 b$ .

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{5 b^{2} + 8 (b) - 4}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 2$ plus $10$

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{5 b^{2} + (- 2 + 10) b - 4}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{5 b^{2} - 2 b + 10 b - 4}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{(5 b^{2} - 2 b) + 10 b - 4}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{b (5 b - 2) + 2 (5 b - 2)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 b - 2$ .

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{(5 b - 2) (b + 2)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $5 b - 2$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{(5 b - 2) (b + 2)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b + 3}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b + 2) (b - 2)}{b + 2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $b - 2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $b - 2$ à partir de $(b + 2) (b - 2)$ .

$\frac{b + 3}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b - 2) (b + 2)}{b + 2}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b + 3}{(b - 2) (b + 3)} \cdot \frac{(b - 2) (b + 2)}{b + 2}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{b + 3}{b + 3} \cdot \frac{b + 2}{b + 2}$

Étape 7

Multipliez $\frac{b + 3}{b + 3}$ par $\frac{b + 2}{b + 2}$ .

$\frac{(b + 3) (b + 2)}{(b + 3) (b + 2)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $b + 3$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b + 3) (b + 2)}{(b + 3) (b + 2)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b + 2}{b + 2}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $b + 2$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b + 2}{b + 2}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$1$