Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 \cdot (2^{n} {(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n + 1})}^{3})}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $5^{2 n - 1} \cdot 2^{n + 1}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} {(5^{2 n - 1})}^{3} \cdot {(2^{n + 1})}^{3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(5^{2 n - 1})}^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{(2 n - 1) \cdot 3} \cdot {(2^{n + 1})}^{3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{2 n \cdot 3 - 1 \cdot 3} \cdot {(2^{n + 1})}^{3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 1 \cdot 3} \cdot {(2^{n + 1})}^{3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 3} \cdot {(2^{n + 1})}^{3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{n + 1})}^{3}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 3} \cdot 2^{(n + 1) \cdot 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 3} \cdot 2^{n \cdot 3 + 1 \cdot 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $n$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 3} \cdot 2^{3 \cdot n + 1 \cdot 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{5 \cdot 2^{n} \cdot 5^{6 n - 3} \cdot 2^{3 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4

Associez les exposants.

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Étape 1.4.1

Multipliez $5$ par $5^{6 n - 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1

Déplacez $5^{6 n - 3}$ .

$\frac{5^{6 n - 3} \cdot 5 \cdot 2^{n} \cdot 2^{3 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $5^{6 n - 3}$ par $5$ .

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Étape 1.4.1.2.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$\frac{5^{6 n - 3} \cdot 5^{1} \cdot 2^{n} \cdot 2^{3 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5^{6 n - 3 + 1} \cdot 2^{n} \cdot 2^{3 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.1.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{n} \cdot 2^{3 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2^{n}$ par $2^{3 n + 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.1

Déplacez $2^{3 n + 3}$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot (2^{3 n + 3} \cdot 2^{n})}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{3 n + 3 + n}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $3 n$ et $n$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{{(5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $5^{3 n - 1} \cdot 2^{2 n - 1}$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{{(5^{3 n - 1})}^{2} \cdot {(2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(5^{3 n - 1})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{(3 n - 1) \cdot 2} \cdot {(2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{3 n \cdot 2 - 1 \cdot 2} \cdot {(2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 1 \cdot 2} \cdot {(2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot {(2^{2 n - 1})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2 n - 1})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot 2^{(2 n - 1) \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot 2^{2 n \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n - 1 \cdot 2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n - 2}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $5^{6 n - 2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3}}{5^{6 n - 2} \cdot 2^{4 n - 2}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{4 n + 3}}{2^{4 n - 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $2^{4 n + 3}$ et $2^{4 n - 2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2^{4 n - 2}$ à partir de $2^{4 n + 3}$ .

$\frac{2^{4 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}}{2^{4 n - 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2^{4 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}}{2^{4 n - 2} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{4 n - 2} \cdot 2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}}{2^{4 n - 2} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}}{1}$

Étape 3.2.2.4

Divisez $2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}$ par $1$ .

$2^{4 n + 3 - (4 n - 2)}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2^{4 n + 3 - (4 n) - - 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2^{4 n + 3 - 4 n - - 2}$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2^{4 n + 3 - 4 n + 2}$

Étape 3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.1

Associez les termes opposés dans $4 n + 3 - 4 n + 2$ .

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Étape 3.4.1.1

Soustrayez $4 n$ de $4 n$ .

$2^{0 + 3 + 2}$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$2^{3 + 2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.1

Additionnez $3$ et $2$ .

$2^{5}$

Étape 3.4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32$