Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 4}{y + 2} + \frac{y}{7 - y} + \frac{y^{2} + 14}{y^{2} - 5 y - 14}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{y + 2} + \frac{y}{7 - y} + \frac{y^{2} + 14}{y^{2} - 5 y - 14}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} - 5 y - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{4}{y + 2} + \frac{y}{7 - y} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{4}{y + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 - y}{7 - y}$ .

$- \frac{4}{y + 2} \cdot \frac{7 - y}{7 - y} + \frac{y}{7 - y} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{y}{7 - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$- \frac{4}{y + 2} \cdot \frac{7 - y}{7 - y} + \frac{y}{7 - y} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 2) (7 - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4}{y + 2}$ par $\frac{7 - y}{7 - y}$ .

$- \frac{4 (7 - y)}{(y + 2) (7 - y)} + \frac{y}{7 - y} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{y}{7 - y}$ par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$- \frac{4 (7 - y)}{(y + 2) (7 - y)} + \frac{y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 2) (7 - y)$ .

$- \frac{4 (7 - y)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 (7 - y) + y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 \cdot 7 - 4 (- y) + y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$\frac{- 28 - 4 (- y) + y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 28 + 4 y + y (y + 2)}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 28 + 4 y + y \cdot y + y \cdot 2}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{- 28 + 4 y + y^{2} + y \cdot 2}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{- 28 + 4 y + y^{2} + 2 \cdot y}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.7

Additionnez $4 y$ et $2 y$ .

$\frac{- 28 + y^{2} + 6 y}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 6.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(y - 7) (y + 2)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(- 1 (- y) - 7) (y + 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{(- 1 (- y) - 1 (7)) (y + 2)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (7)$ .

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{y^{2} + 14}{- 1 (- y + 7) (y + 2)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{y^{2} + 14}{- 1 (- y + 7) (y + 2)}$ au numérateur.

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(7 - y) (y + 2)} + \frac{- (y^{2} + 14)}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 7.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} + 6 y - 28}{(- y + 7) (y + 2)} + \frac{- (y^{2} + 14)}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} + 6 y - 28 - (y^{2} + 14)}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} + 6 y - 28 - y^{2} - 1 \cdot 14}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$\frac{y^{2} + 6 y - 28 - y^{2} - 14}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.3

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{6 y - 28 + 0 - 14}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.4

Additionnez $6 y$ et $0$ .

$\frac{6 y - 28 - 14}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.5

Soustrayez $14$ de $- 28$ .

$\frac{6 y - 42}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.6

Factorisez $6$ à partir de $6 y - 42$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y$ .

$\frac{6 (y) - 42}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.6.2

Factorisez $6$ à partir de $- 42$ .

$\frac{6 y + 6 \cdot - 7}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 8.6.3

Factorisez $6$ à partir de $6 y + 6 \cdot - 7$ .

$\frac{6 (y - 7)}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $y - 7$ et $- y + 7$ .

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{6 (- 1 (- y) - 7)}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 9.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{6 (- 1 (- y) - 1 (7))}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (7)$ .

$\frac{6 (- 1 (- y + 7))}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 1 (- y + 7))}{(- y + 7) (y + 2)}$

Étape 9.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cdot (- 1)}{y + 2}$

Étape 10

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6}{y + 2}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{y + 2}$