Mathématiques de base Exemples

$\frac{b}{9 b^{2} - 4} + \frac{b + 1}{6 b^{2} - 4 b} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9 b^{2}$ comme ${(3 b)}^{2}$ .

$\frac{b}{{(3 b)}^{2} - 4} + \frac{b + 1}{6 b^{2} - 4 b} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{b}{{(3 b)}^{2} - 2^{2}} + \frac{b + 1}{6 b^{2} - 4 b} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 b$ et $b = 2$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{6 b^{2} - 4 b} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.2

Factorisez $2 b$ à partir de $6 b^{2} - 4 b$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 b$ à partir de $6 b^{2}$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b) - 4 b} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 b$ à partir de $- 4 b$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b) + 2 b (- 2)} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2 b$ à partir de $2 b (3 b) + 2 b (- 2)$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{6 b + 4}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $6 b + 4$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 b$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{2 (3 b) + 4}$

Étape 1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{2 (3 b) + 2 (2)}$

Étape 1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 b) + 2 (2)$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{2 (3 b + 2)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)}$ par $\frac{2 b}{2 b}$ .

$\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)} \cdot \frac{2 b}{2 b} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{2 (3 b + 2)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{b}{(3 b + 2) (3 b - 2)}$ par $\frac{2 b}{2 b}$ .

$\frac{b (2 b)}{(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} - \frac{1}{2 (3 b + 2)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)}$ par $\frac{3 b + 2}{3 b + 2}$ .

$\frac{b (2 b)}{(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)} + \frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)} \cdot \frac{3 b + 2}{3 b + 2} - \frac{1}{2 (3 b + 2)}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{b + 1}{2 b (3 b - 2)}$ par $\frac{3 b + 2}{3 b + 2}$ .

$\frac{b (2 b)}{(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b - 2) (3 b + 2)} - \frac{1}{2 (3 b + 2)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{2 (3 b + 2)}$ par $\frac{(3 b - 2) b}{(3 b - 2) b}$ .

$\frac{b (2 b)}{(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b - 2) (3 b + 2)} - (\frac{1}{2 (3 b + 2)} \cdot \frac{(3 b - 2) b}{(3 b - 2) b})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2 (3 b + 2)}$ par $\frac{(3 b - 2) b}{(3 b - 2) b}$ .

$\frac{b (2 b)}{(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b - 2) (3 b + 2)} - \frac{(3 b - 2) b}{2 (3 b + 2) ((3 b - 2) b)}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $(3 b + 2) (3 b - 2) (2 b)$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b - 2) (3 b + 2)} - \frac{(3 b - 2) b}{2 (3 b + 2) ((3 b - 2) b)}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $2 b (3 b - 2) (3 b + 2)$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} - \frac{(3 b - 2) b}{2 (3 b + 2) ((3 b - 2) b)}$

Étape 2.9

Réorganisez les facteurs de $2 (3 b + 2) ((3 b - 2) b)$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} - \frac{(3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{(b + 1) (3 b + 2) - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Développez $(b + 1) (3 b + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b (3 b + 2) + 1 (3 b + 2) - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b (3 b) + b \cdot 2 + 1 (3 b + 2) - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{b (3 b) + b \cdot 2 + 1 (3 b) + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b \cdot b + b \cdot 2 + 1 (3 b) + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 (b \cdot b) + b \cdot 2 + 1 (3 b) + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + b \cdot 2 + 1 (3 b) + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 2 \cdot b + 1 (3 b) + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $3 b$ par $1$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 2 b + 3 b + 1 \cdot 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 2 b + 3 b + 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.2.2

Additionnez $2 b$ et $3 b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 - (3 b - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 + (- (3 b) - - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 + (- 3 b - - 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 + (- 3 b + 2) b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 - 3 b \cdot b + 2 b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.7

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Déplacez $b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 - 3 (b \cdot b) + 2 b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 4.7.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{3 b^{2} + 5 b + 2 - 3 b^{2} + 2 b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $3 b^{2} + 5 b + 2 - 3 b^{2} + 2 b$ .

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 b^{2}$ de $3 b^{2}$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{5 b + 2 + 0 + 2 b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 5.1.2

Additionnez $5 b + 2$ et $0$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{5 b + 2 + 2 b}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 5.2

Additionnez $5 b$ et $2 b$ .

$\frac{b (2 b)}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)} + \frac{7 b + 2}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b (2 b) + 7 b + 2}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 b \cdot b + 7 b + 2}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 (b \cdot b) + 7 b + 2}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{2 b^{2} + 7 b + 2}{2 b (3 b + 2) (3 b - 2)}$