Mathématiques de base Exemples

$\frac{b}{b^{2} + 5 b + 6} - \frac{2}{b^{2} + 3 b + 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $b^{2} + 5 b + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{b}{(b + 2) (b + 3)} - \frac{2}{b^{2} + 3 b + 2}$

Étape 1.2

Factorisez $b^{2} + 3 b + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{b}{(b + 2) (b + 3)} - \frac{2}{(b + 1) (b + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{b}{(b + 2) (b + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b}{(b + 2) (b + 3)} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} - \frac{2}{(b + 1) (b + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2}{(b + 1) (b + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 3}{b + 3}$ .

$\frac{b}{(b + 2) (b + 3)} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} - \frac{2}{(b + 1) (b + 2)} \cdot \frac{b + 3}{b + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b + 2) (b + 3) (b + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{b}{(b + 2) (b + 3)}$ par $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b (b + 1)}{(b + 2) (b + 3) (b + 1)} - \frac{2}{(b + 1) (b + 2)} \cdot \frac{b + 3}{b + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{(b + 1) (b + 2)}$ par $\frac{b + 3}{b + 3}$ .

$\frac{b (b + 1)}{(b + 2) (b + 3) (b + 1)} - \frac{2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(b + 2) (b + 3) (b + 1)$ .

$\frac{b (b + 1)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)} - \frac{2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b (b + 1) - 2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b \cdot b + b \cdot 1 - 2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b^{2} + b \cdot 1 - 2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{b^{2} + b - 2 (b + 3)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{2} + b - 2 b - 2 \cdot 3}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{b^{2} + b - 2 b - 6}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.6

Soustrayez $2 b$ de $b$ .

$\frac{b^{2} - b - 6}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 6.7

Factorisez $b^{2} - b - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 6.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(b - 3) (b + 2)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $b + 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b - 3) (b + 2)}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b - 3}{(b + 1) (b + 3)}$