Mathématiques de base Exemples

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \div \frac{2 a}{3 a^{2} - 5 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 a$ .

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 (a) - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $3$ plus $- 10$

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + (3 - 10) a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + 3 a - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{a - 2}{(6 a^{2} + 3 a) - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{a - 2}{3 a (2 a + 1) - 5 (2 a + 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.3

Factorisez $a$ à partir de $3 a^{2} - 5 a$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $a$ à partir de $3 a^{2}$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.3.2

Factorisez $a$ à partir de $- 5 a$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) + a \cdot - 5}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.3.3

Factorisez $a$ à partir de $a (3 a) + a \cdot - 5$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $3 a - 5$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3 a - 5$ à partir de $(2 a + 1) (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.4.2

Factorisez $3 a - 5$ à partir de $a (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 2}{2 a + 1} \cdot \frac{a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{a - 2}{2 a + 1}$ par $\frac{a}{2 a}$ .

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) \cdot (2)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.7

Déplacez $2$ à gauche de $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 \cdot (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Étape 1.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 1.8.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 a$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 (a) + 5}$

Étape 1.8.1.2

Réécrivez $11$ comme $1$ plus $10$

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + (1 + 10) a + 5}$

Étape 1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 1 a + 10 a + 5}$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + a + 10 a + 5}$

Étape 1.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a^{2} + a) + 10 a + 5}$

Étape 1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{a (2 a + 1) + 5 (2 a + 1)}$

Étape 1.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (2 a + 1) (a + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ par $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a - 2) (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(a - 2) (a + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a + 5) - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} + 5 \cdot a - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{a^{2} + 5 a - 2 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2 a$ de $5 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- (3 a) - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 3 a \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.7

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.9

Soustrayez $6 a$ de $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 10 - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Étape 6.10

Soustrayez $4$ de $- 10$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 14}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$