Mathématiques de base Exemples

$\sqrt[3]{- 9 a^{5} b^{- 11}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt[3]{- 9 a^{5} \frac{1}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 2

Associez les exposants.

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Étape 2.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{b^{11}}$ .

$\sqrt[3]{a^{5} \frac{- 9}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 2.2

Associez $a^{5}$ et $\frac{- 9}{b^{11}}$ .

$\sqrt[3]{\frac{a^{5} \cdot - 9}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 3

Déplacez $- 9$ à gauche de $a^{5}$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 9 \cdot a^{5}}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt[3]{- \frac{9 \cdot a^{5}}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 5

Réécrivez $- \frac{9 a^{5}}{b^{11}}$ comme ${(- \frac{a}{b^{3}})}^{3} \frac{9 a^{2}}{b^{2}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{9 a^{5}}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 5.2

Factorisez la puissance parfaite $a^{3}$ dans $9 a^{5}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{a^{3} \cdot (9 a^{2})}{b^{11}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez la puissance parfaite ${(b^{3})}^{3}$ dans $b^{11}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{a^{3} \cdot (9 a^{2})}{{(b^{3})}^{3} b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 5.4

Réorganisez la fraction $\frac{a^{3} \cdot (9 a^{2})}{{(b^{3})}^{3} b^{2}}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{a}{b^{3}})}^{3} \frac{9 a^{2}}{b^{2}})} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez ${(- 1)}^{3} {(\frac{a}{b^{3}})}^{3}$ comme ${(- \frac{a}{b^{3}})}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{a}{b^{3}})}^{3} \frac{9 a^{2}}{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{a}{b^{3}} \sqrt[3]{\frac{9 a^{2}}{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 7

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{9 a^{2}}{b^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{9 a^{2}}}{\sqrt[3]{b^{2}}}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}}}{\sqrt[3]{b^{2}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9 a^{2}}}{\sqrt[3]{b^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} (\frac{\sqrt[3]{9 a^{2}}}{\sqrt[3]{b^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}) \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9 a^{2}}}{\sqrt[3]{b^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{b^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt[3]{b^{2}}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{1 + 2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{b^{2}}}^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{b^{2}}}^{3}$ comme $b^{2}$ .

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Étape 9.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{b^{2}}$ comme $b^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{{(b^{\frac{2}{3}})}^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{2}{3} \cdot 3}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{2 \cdot 3}{3}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{6}{3}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 9.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{3 \cdot 2}{3}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{\frac{2}{1}}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 9.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} {\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{b^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(b^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} \sqrt[3]{{(b^{2})}^{2}}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} \sqrt[3]{b^{2 \cdot 2}}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} \sqrt[3]{b^{4}}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10.3

Factorisez $b^{3}$ .

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} \sqrt[3]{b^{3} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2}} b \sqrt[3]{b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 10.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{a}{b^{3}} \cdot \frac{b \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 11.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{a}{b^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- a}{b^{3}} \cdot \frac{b \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11.1.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{3}$ .

$\frac{- a}{b \cdot b^{2}} \cdot \frac{b \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b \sqrt[3]{9 a^{2} b}$ .

$\frac{- a}{b \cdot b^{2}} \cdot \frac{b (\sqrt[3]{9 a^{2} b})}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- a}{b \cdot b^{2}} \cdot \frac{b \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- a}{b^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{- a}{b^{2}}$ par $\frac{\sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2}}$ .

$\frac{- a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2} b^{2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 12

Multipliez $b^{2}$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{2 + 2}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 12.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{3 a^{4} b^{2}}$

Étape 14

Réécrivez $3 a^{4} b^{2}$ comme $a^{3} \cdot (3 a b^{2})$ .

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Étape 14.1

Factorisez $a^{3}$ .

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{3 (a^{3} a) b^{2}}$

Étape 14.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $a^{3}$ .

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{a^{3} \cdot 3 a b^{2}}$

Étape 14.3

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{a^{3} \cdot 3 (a b^{2})}$

Étape 14.4

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot \sqrt[3]{a^{3} \cdot (3 a b^{2})}$

Étape 15

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \cdot (a \sqrt[3]{3 a b^{2}})$

Étape 16

Multipliez $- \frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} (a \sqrt[3]{3 a b^{2}})$ .

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Étape 16.1

Associez $a$ et $\frac{a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}}$ .

$- \frac{a (a \sqrt[3]{9 a^{2} b})}{b^{4}} \sqrt[3]{3 a b^{2}}$

Étape 16.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{1} a \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \sqrt[3]{3 a b^{2}}$

Étape 16.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{1} a^{1} \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \sqrt[3]{3 a b^{2}}$

Étape 16.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{a^{1 + 1} \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \sqrt[3]{3 a b^{2}}$

Étape 16.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}} \sqrt[3]{3 a b^{2}}$

Étape 16.6

Associez $\sqrt[3]{3 a b^{2}}$ et $\frac{a^{2} \sqrt[3]{9 a^{2} b}}{b^{4}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{3 a b^{2}} (a^{2} \sqrt[3]{9 a^{2} b})}{b^{4}}$

Étape 16.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{3 a b^{2} (9 a^{2} b)}}{b^{4}}$

Étape 16.8

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a b^{2} (a^{2} b)}}{b^{4}}$

Étape 16.9

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 (a^{2} a^{1}) b^{2} b}}{b^{4}}$

Étape 16.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a^{2 + 1} b^{2} b}}{b^{4}}$

Étape 16.11

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a^{3} b^{2} b}}{b^{4}}$

Étape 16.12

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a^{3} (b^{1} b^{2})}}{b^{4}}$

Étape 16.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a^{3} b^{1 + 2}}}{b^{4}}$

Étape 16.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{27 a^{3} b^{3}}}{b^{4}}$

Étape 17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1

Réécrivez $27 a^{3} b^{3}$ comme ${(3 a b)}^{3}$ .

$- \frac{a^{2} \sqrt[3]{{(3 a b)}^{3}}}{b^{4}}$

Étape 17.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$- \frac{a^{2} \cdot 3 a b}{b^{4}}$

Étape 17.3

Associez les exposants.

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Étape 17.3.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 (a^{2} a^{1}) b}{b^{4}}$

Étape 17.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 a^{2 + 1} b}{b^{4}}$

Étape 17.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{3 a^{3} b}{b^{4}}$

Étape 18

Annulez le facteur commun à $b$ et $b^{4}$ .

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Étape 18.1

Factorisez $b$ à partir de $3 a^{3} b$ .

$- \frac{b (3 a^{3})}{b^{4}}$

Étape 18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.1

Factorisez $b$ à partir de $b^{4}$ .

$- \frac{b (3 a^{3})}{b \cdot b^{3}}$

Étape 18.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{b (3 a^{3})}{b \cdot b^{3}}$

Étape 18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 a^{3}}{b^{3}}$