Mathématiques de base Exemples

$\frac{w}{w^{2} + 6 w + 9} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{w}{w^{2} + 6 w + 3^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 w = 2 \cdot w \cdot 3$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{w}{w^{2} + 2 \cdot w \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = w$ et $b = 3$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w^{2} + 9 w} + 18$

Étape 1.2

Factorisez $w$ à partir de $w^{2} + 9 w$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{2}$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w \cdot w + 9 w} + 18$

Étape 1.2.2

Factorisez $w$ à partir de $9 w$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w \cdot w + w \cdot 9} + 18$

Étape 1.2.3

Factorisez $w$ à partir de $w \cdot w + w \cdot 9$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} + \frac{3}{w (w + 9)} + 18$

Étape 2

Pour écrire $\frac{w}{{(w + 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{w (w + 9)}{w (w + 9)}$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} \cdot \frac{w (w + 9)}{w (w + 9)} + \frac{3}{w (w + 9)} + 18$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{w (w + 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}}$ .

$\frac{w}{{(w + 3)}^{2}} \cdot \frac{w (w + 9)}{w (w + 9)} + \frac{3}{w (w + 9)} \cdot \frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}} + 18$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{w}{{(w + 3)}^{2}}$ par $\frac{w (w + 9)}{w (w + 9)}$ .

$\frac{w (w (w + 9))}{{(w + 3)}^{2} (w (w + 9))} + \frac{3}{w (w + 9)} \cdot \frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}} + 18$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{w (w + 9)}$ par $\frac{{(w + 3)}^{2}}{{(w + 3)}^{2}}$ .

$\frac{w (w (w + 9))}{{(w + 3)}^{2} (w (w + 9))} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}} + 18$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de ${(w + 3)}^{2} (w (w + 9))$ .

$\frac{w (w (w + 9))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}} + 18$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ .

$\frac{w (w (w + 9))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{w (w (w + 9)) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Déplacez $w$ .

$\frac{w \cdot w (w + 9) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.1.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{w^{2} (w + 9) + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{2} w + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.3

Multipliez $w^{2}$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Multipliez $w^{2}$ par $w$ .

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Étape 6.3.1.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{w^{2} w^{1} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{w^{2 + 1} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{w^{3} + w^{2} \cdot 9 + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.4

Déplacez $9$ à gauche de $w^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 9 \cdot w^{2} + 3 {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.5

Réécrivez ${(w + 3)}^{2}$ comme $(w + 3) (w + 3)$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 ((w + 3) (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.6

Développez $(w + 3) (w + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w (w + 3) + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.7.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $w$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 3 \cdot w + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 3 w + 3 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.7.2

Additionnez $3 w$ et $3 w$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 (w^{2} + 6 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 3 (6 w) + 3 \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 18 w + 3 \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.9.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{w^{3} + 9 w^{2} + 3 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 6.10

Additionnez $9 w^{2}$ et $3 w^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18$

Étape 7

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + 18 \cdot \frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Associez $18$ et $\frac{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w (w + 9) {(w + 3)}^{2}}$

Étape 8.2

Réorganisez les facteurs de $w (w + 9) {(w + 3)}^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)} + \frac{18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 (w (w + 9) {(w + 3)}^{2})}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w \cdot w + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.2

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1

Déplacez $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 (w \cdot w) + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.2.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 18 w \cdot 9) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.3

Multipliez $9$ par $18$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) {(w + 3)}^{2}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.4

Réécrivez ${(w + 3)}^{2}$ comme $(w + 3) (w + 3)$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) ((w + 3) (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.5

Développez $(w + 3) (w + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w (w + 3) + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 (w + 3))}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w \cdot w + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.6.1.1

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + w \cdot 3 + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 3 \cdot w + 3 w + 3 \cdot 3)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 3 w + 3 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.6.2

Additionnez $3 w$ et $3 w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + (18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 6 w + 9)}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.7

Développez $(18 w^{2} + 162 w) (w^{2} + 6 w + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{2} w^{2} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.8.1

Multipliez $w^{2}$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.8.1.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 (w^{2} w^{2}) + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{2 + 2} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 w^{2} (6 w) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{2} w + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.3

Multipliez $w^{2}$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.8.3.1

Déplacez $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 (w \cdot w^{2}) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.3.2

Multipliez $w$ par $w^{2}$ .

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Étape 10.8.3.2.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 (w^{1} w^{2}) + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{1 + 2} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 18 \cdot 6 w^{3} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.4

Multipliez $18$ par $6$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 18 w^{2} \cdot 9 + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.5

Multipliez $9$ par $18$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w \cdot w^{2} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.6

Multipliez $w$ par $w^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.8.6.1

Déplacez $w^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 (w^{2} w) + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.6.2

Multipliez $w^{2}$ par $w$ .

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Étape 10.8.6.2.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 (w^{2} w^{1}) + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{2 + 1} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 w (6 w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 w \cdot w + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.8

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.8.8.1

Déplacez $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 (w \cdot w) + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.8.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 162 \cdot 6 w^{2} + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.9

Multipliez $162$ par $6$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 972 w^{2} + 162 w \cdot 9}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.8.10

Multipliez $9$ par $162$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 108 w^{3} + 162 w^{2} + 162 w^{3} + 972 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.9

Additionnez $108 w^{3}$ et $162 w^{3}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 270 w^{3} + 162 w^{2} + 972 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.10

Additionnez $162 w^{2}$ et $972 w^{2}$ .

$\frac{w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 270 w^{3} + 1134 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.11

Additionnez $w^{3}$ et $270 w^{3}$ .

$\frac{271 w^{3} + 12 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 1134 w^{2} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.12

Additionnez $12 w^{2}$ et $1134 w^{2}$ .

$\frac{271 w^{3} + 1146 w^{2} + 18 w + 27 + 18 w^{4} + 1458 w}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.13

Additionnez $18 w$ et $1458 w$ .

$\frac{271 w^{3} + 1146 w^{2} + 1476 w + 27 + 18 w^{4}}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$

Étape 10.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{18 w^{4} + 271 w^{3} + 1146 w^{2} + 1476 w + 27}{w {(w + 3)}^{2} (w + 9)}$