Mathématiques de base Exemples

$\sqrt[5]{4 u^{2} v^{6}} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 1

Réécrivez $4 u^{2} v^{6}$ comme $v^{5} \cdot (4 u^{2} v)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $v^{5}$ .

$\sqrt[5]{4 u^{2} (v^{5} v)} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 1.2

Déplacez $u^{2}$ .

$\sqrt[5]{4 v^{5} u^{2} v} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $4$ et $v^{5}$ .

$\sqrt[5]{v^{5} \cdot 4 u^{2} v} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 1.4

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt[5]{v^{5} \cdot 4 (u^{2} v)} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 1.5

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt[5]{v^{5} \cdot (4 u^{2} v)} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{8 u^{3} v^{4}}$

Étape 3

Réécrivez $8 u^{3} v^{4}$ comme ${(2 u v^{2})}^{2} \cdot (2 u)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{4 (2) u^{3} v^{4}}$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2 u^{3} v^{4}}$

Étape 3.3

Factorisez $u^{2}$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2 (u^{2} u) v^{4}}$

Étape 3.4

Réécrivez $v^{4}$ comme ${(v^{2})}^{2}$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2 (u^{2} u) {(v^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Déplacez $u$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2 (u^{2}) {(v^{2})}^{2} u}$

Étape 3.6

Déplacez $2$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{2^{2} (u^{2}) {(v^{2})}^{2} \cdot 2 u}$

Étape 3.7

Réécrivez $(2^{2} (u^{2})) {(v^{2})}^{2}$ comme ${(2 u v^{2})}^{2}$ .

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{{(2 u v^{2})}^{2} \cdot 2 u}$

Étape 3.8

Ajoutez des parenthèses.

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot \sqrt{{(2 u v^{2})}^{2} \cdot (2 u)}$

Étape 4

Extrayez les termes de sous le radical.

$v \sqrt[5]{4 u^{2} v} \cdot (2 u v^{2} \sqrt{2 u})$

Étape 5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 v \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u v^{2} \sqrt{2 u})$

Étape 6

Multipliez $v$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $v^{2}$ .

$2 (v^{2} v) \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u \sqrt{2 u})$

Étape 6.2

Multipliez $v^{2}$ par $v$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$2 (v^{2} v^{1}) \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u \sqrt{2 u})$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 v^{2 + 1} \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u \sqrt{2 u})$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 v^{3} \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u \sqrt{2 u})$

Étape 7

Multipliez $2 v^{3} \sqrt[5]{4 u^{2} v} (u \sqrt{2 u})$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $10$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{4 u^{2} v}$ comme ${(4 u^{2} v)}^{\frac{1}{5}}$ .

$2 v^{3} (u ({(4 u^{2} v)}^{\frac{1}{5}} \sqrt{2 u}))$

Étape 7.1.2

Réécrivez ${(4 u^{2} v)}^{\frac{1}{5}}$ comme ${(4 u^{2} v)}^{\frac{2}{10}}$ .

$2 v^{3} (u ({(4 u^{2} v)}^{\frac{2}{10}} \sqrt{2 u}))$

Étape 7.1.3

Réécrivez ${(4 u^{2} v)}^{\frac{2}{10}}$ comme $\sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2}}$ .

$2 v^{3} (u (\sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2}} \sqrt{2 u}))$

Étape 7.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 u}$ comme ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v^{3} (u (\sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2}} {(2 u)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 7.1.5

Réécrivez ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ comme ${(2 u)}^{\frac{5}{10}}$ .

$2 v^{3} (u (\sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2}} {(2 u)}^{\frac{5}{10}}))$

Étape 7.1.6

Réécrivez ${(2 u)}^{\frac{5}{10}}$ comme $\sqrt[10]{{(2 u)}^{5}}$ .

$2 v^{3} (u (\sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2}} \sqrt[10]{{(2 u)}^{5}}))$

Étape 7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{{(4 u^{2} v)}^{2} {(2 u)}^{5}})$

Étape 7.3

Appliquez la règle de produit à $4 u^{2} v$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{{(4 u^{2})}^{2} v^{2} {(2 u)}^{5}})$

Étape 7.4

Appliquez la règle de produit à $2 u$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{{(4 u^{2})}^{2} v^{2} \cdot 2^{5} u^{5}})$

Étape 7.5

Appliquez la règle de produit à $4 u^{2}$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{4^{2} {(u^{2})}^{2} v^{2} \cdot 2^{5} u^{5}})$

Étape 7.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{16 {(u^{2})}^{2} v^{2} \cdot 2^{5} u^{5}})$

Étape 7.7

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{16 u^{2 \cdot 2} v^{2} \cdot 2^{5} u^{5}})$

Étape 7.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{16 u^{4} v^{2} \cdot 2^{5} u^{5}})$

Étape 7.8

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{16 u^{4} v^{2} \cdot 32 u^{5}})$

Étape 7.9

Associez les exposants.

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Étape 7.9.1

Multipliez $32$ par $16$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{512 u^{4} v^{2} u^{5}})$

Étape 7.9.2

Multipliez $u^{4}$ par $u^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.9.2.1

Déplacez $u^{5}$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{512 (u^{5} u^{4}) v^{2}})$

Étape 7.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{512 u^{5 + 4} v^{2}})$

Étape 7.9.2.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$2 v^{3} (u \sqrt[10]{512 u^{9} v^{2}})$

$2 v^{3} u \sqrt[10]{512 u^{9} v^{2}}$