Mathématiques de base Exemples

$\frac{y - 2}{y^{2} - 4 y + 4} \div \frac{y^{2} + 2 y}{y^{2} + 4 y + 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{y - 2}{y^{2} - 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{y - 2}{y^{2} - 4 y + 2^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y - 2}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{y - 2}{{(y - 2)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $y - 2$ et ${(y - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(y - 2) \cdot 1}{{(y - 2)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $y - 2$ à partir de ${(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{(y - 2) \cdot 1}{(y - 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 2) \cdot 1}{(y - 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 4}{y^{2} + 2 y}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 4 y + 2^{2}}{y^{2} + 2 y}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2}}{y^{2} + 2 y}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{{(y + 2)}^{2}}{y^{2} + 2 y}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 2 y$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{{(y + 2)}^{2}}{y \cdot y + 2 y}$

Étape 5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{{(y + 2)}^{2}}{y \cdot y + y \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{{(y + 2)}^{2}}{y (y + 2)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à ${(y + 2)}^{2}$ et $y + 2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y + 2$ à partir de ${(y + 2)}^{2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{(y + 2) (y + 2)}{y (y + 2)}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $y + 2$ à partir de $y (y + 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{(y + 2) (y + 2)}{(y + 2) y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{(y + 2) (y + 2)}{(y + 2) y}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 2}{y}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{y - 2}$ par $\frac{y + 2}{y}$ .

$\frac{y + 2}{(y - 2) y}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y + 2}{(y - 2) y}$ .

$\frac{y + 2}{y (y - 2)}$