Mathématiques de base Exemples

$\frac{z}{z^{2} - 64} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 8^{2}} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 8$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 z = 2 \cdot z \cdot 8$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 8 + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 8$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ par $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ par $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ par $\frac{z + 8}{z + 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} \cdot \frac{z + 8}{z + 8} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ par $\frac{z + 8}{z + 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{1}{z + 8}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{z + 8}$ par $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - (\frac{1}{z + 8} \cdot \frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{z + 8}$ par $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez $z - 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} (z - 8))} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $z - 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} {(z - 8)}^{1})} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{1 + 1}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Étape 2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z (z - 8) + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.3

Déplacez $- 8$ à gauche de $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 \cdot z + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 8 \cdot 8 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.5

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.6

Réécrivez ${(z - 8)}^{2}$ comme $(z - 8) (z - 8)$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - ((z - 8) (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.7

Développez $(z - 8) (z - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z (z - 8) - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.8.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 \cdot z - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.8.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 z - 8 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.8.2

Soustrayez $8 z$ de $- 8 z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 16 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} - (- 16 z) - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.10

Simplifiez

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 4.10.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5

Associez les termes opposés dans $z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64$ .

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Étape 5.1

Additionnez $- 8 z$ et $8 z$ .

$\frac{z^{2} + 0 + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5.2

Additionnez $z^{2}$ et $0$ .

$\frac{z^{2} + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5.3

Soustrayez $z^{2}$ de $z^{2}$ .

$\frac{0 + 64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $64$ .

$\frac{64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5.5

Soustrayez $64$ de $64$ .

$\frac{16 z + 0}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Étape 5.6

Additionnez $16 z$ et $0$ .

$\frac{16 z}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$