Mathématiques de base Exemples

$9 y^{2} + 3 y - 1 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3

Additionnez $9$ et $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.3

Additionnez $9$ et $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{6}$

Étape 4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{6}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{6}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{6}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.3

Additionnez $9$ et $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{6}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{6}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{6}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{6}$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Forme décimale :

$y = 0.20601132 \dots, - 0.53934466 \dots$