Mathématiques de base Exemples

$(\frac{w x + 4}{w x - 4}) - (\frac{w x - 4}{w x + 4}) = 1$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$w x - 4, w x + 4, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $w x - 4$ est $w x - 4$ lui-même.

$(w x - 4) = w x - 4$

$(w x - 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $w x + 4$ est $w x + 4$ lui-même.

$(w x + 4) = w x + 4$

$(w x + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $w x - 4, w x + 4$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(w x - 4) (w x + 4)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{w x + 4}{w x - 4} - \frac{w x - 4}{w x + 4} = 1$ par $(w x - 4) (w x + 4)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{w x + 4}{w x - 4} - \frac{w x - 4}{w x + 4} = 1$ par $(w x - 4) (w x + 4)$ .

$\frac{w x + 4}{w x - 4} ((w x - 4) (w x + 4)) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $w x - 4$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{w x + 4}{w x - 4} ((w x - 4) (w x + 4)) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(w x + 4) (w x + 4) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.2

Élevez $w x + 4$ à la puissance $1$ .

${(w x + 4)}^{1} (w x + 4) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.3

Élevez $w x + 4$ à la puissance $1$ .

${(w x + 4)}^{1} {(w x + 4)}^{1} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(w x + 4)}^{1 + 1} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $w x + 4$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{w x - 4}{w x + 4}$ dans le numérateur.

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.6.2

Factorisez $w x + 4$ à partir de $(w x - 4) (w x + 4)$ .

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x + 4) (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x + 4) (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

${(w x + 4)}^{2} - (w x - 4) (w x - 4) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.7

Élevez $w x - 4$ à la puissance $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - ({(w x - 4)}^{1} (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.8

Élevez $w x - 4$ à la puissance $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - ({(w x - 4)}^{1} {(w x - 4)}^{1}) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{1 + 1} = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.2.1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $(w x - 4) (w x + 4)$ par $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = (w x - 4) (w x + 4)$

Étape 2.3.2

Développez $(w x - 4) (w x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x + 4) - 4 (w x + 4)$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x + 4)$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x) - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.3.1

Associez les termes opposés dans $w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x) - 4 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $w x \cdot 4$ et $- 4 (w x)$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + 4 w x - 4 w x - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.2

Soustrayez $4 w x$ de $4 w x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + 0 - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $w x (w x)$ et $0$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.1.1

Déplacez $w$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w \cdot w x \cdot x - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.2.1.2

Multipliez $w$ par $w$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x \cdot x - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} (x \cdot x) - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x^{2} - 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x^{2} - 16$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $w$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $w^{2} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez ${(w x + 4)}^{2}$ comme $(w x + 4) (w x + 4)$ .

$(w x + 4) (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.2

Développez $(w x + 4) (w x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$w x (w x + 4) + 4 (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$w x (w x) + w x \cdot 4 + 4 (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$w x (w x) + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.3.1.1.1

Déplacez $w$ .

$w \cdot w x \cdot x + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.1.1.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$w^{2} x \cdot x + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$w^{2} (x \cdot x) + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$w^{2} x^{2} + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $w x$ .

$w^{2} x^{2} + 4 \cdot (w x) + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$w^{2} x^{2} + 4 w x + 4 w x + 16 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $4 w x$ et $4 w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez ${(w x - 4)}^{2}$ comme $(w x - 4) (w x - 4)$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - ((w x - 4) (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.5

Développez $(w x - 4) (w x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x - 4) - 4 (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.6.1.1

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.6.1.1.1

Déplacez $w$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w \cdot w x \cdot x + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.1.1.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x \cdot x + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} (x \cdot x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 4 \cdot (w x) - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 4 w x - 4 w x + 16) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.6.2

Soustrayez $4 w x$ de $- 4 w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 8 w x + 16) - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2}) - (- 8 w x) - 1 \cdot 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez

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Étape 3.1.2.8.1

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 (w x) - 1 \cdot 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 (w x) - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.1

Soustrayez $w^{2} x^{2}$ de $w^{2} x^{2}$ .

$8 w x + 16 + 0 + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $8 w x + 16$ et $0$ .

$8 w x + 16 + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.3.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$8 w x + 8 w x + 0 - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $8 w x + 8 w x$ et $0$ .

$8 w x + 8 w x - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.1.4

Additionnez $8 w x$ et $8 w x$ .

$16 w x - w^{2} x^{2} = - 16$

Étape 3.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$16 w x - w^{2} x^{2} + 16 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - x^{2}$ , $b = 16 x$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $w$ .

$\frac{- 16 x \pm \sqrt{{(16 x)}^{2} - 4 \cdot (- x^{2} \cdot 16)}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{{(16 x)}^{2} - 4 \cdot (- (x^{2} \cdot 16))}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.2

Laissez $u = - (x^{2} \cdot 16)$ . Remplacez toutes les occurrences de $- (x^{2} \cdot 16)$ par $u$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $16 x$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{16^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.2.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{256 x^{2} - 4 u}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 3.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2}) - 4 u}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} - u)}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- (x^{2} \cdot 16)$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + x^{2} \cdot 16)}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.5.1.1

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + 16 \cdot x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.5.1.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} - (- 16 x^{2}))}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.5.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + 16 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.5.2

Additionnez $64 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (80 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 \cdot (80 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.6

Multipliez $4$ par $80$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{320 x^{2}}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $320 x^{2}$ comme ${(8 x)}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $320$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{64 (5) x^{2}}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{8^{2} \cdot (5 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.7.3

Déplacez $5$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{8^{2} x^{2} \cdot 5}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.7.4

Réécrivez $8^{2} x^{2}$ comme ${(8 x)}^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{{(8 x)}^{2} \cdot 5}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$w = \frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{2 (- x^{2})}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$w = \frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{- 2 x^{2}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{- 2 x^{2}}$ .

$w = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{x}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$w = \frac{8 + 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 - 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 + 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 - 4 \sqrt{5}}{x}$