Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{7 w}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{2^{2} w} + 10$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{7 w} - 2 = 2 \sqrt{w} + 10$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{7 w}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 10 + 2$

Étape 1.2.2

Additionnez $10$ et $2$ .

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 12$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{7 w}}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 w}$ comme ${(7 w)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(7 w)}^{1} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$7 w = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ comme $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ .

$7 w = (2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w} + 12) + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 w = 4 \sqrt{w} \sqrt{w} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{w}$ à la puissance $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{w}$ à la puissance $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{w}}^{2}$ comme $w$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

$7 w = 4 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 w = 4 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$7 w = 4 w^{1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$7 w = 4 w + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $12$ par $2$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 12 \cdot 12$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $12$ par $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 144$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $24 \sqrt{w}$ et $24 \sqrt{w}$ .

$7 w = 4 w + 48 \sqrt{w} + 144$

Étape 4

Résolvez $48 \sqrt{w}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$ .

$4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $48 \sqrt{w}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4 w$ des deux côtés de l’équation.

$48 \sqrt{w} + 144 = 7 w - 4 w$

Étape 4.2.2

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$48 \sqrt{w} = 7 w - 4 w - 144$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4 w$ de $7 w$ .

$48 \sqrt{w} = 3 w - 144$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(48 \sqrt{w})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $48 w^{\frac{1}{2}}$ .

$48^{2} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $48$ à la puissance $2$ .

$2304 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2304 w^{1} = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$2304 w = {(3 w - 144)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(3 w - 144)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(3 w - 144)}^{2}$ comme $(3 w - 144) (3 w - 144)$ .

$2304 w = (3 w - 144) (3 w - 144)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(3 w - 144) (3 w - 144)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2304 w = 3 w (3 w - 144) - 144 (3 w - 144)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w - 144)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2304 w = 3 \cdot 3 w \cdot w + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 (w \cdot w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 144$ par $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w - 144 \cdot - 144$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 144$ par $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w + 20736$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $432 w$ de $- 432 w$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 864 w + 20736$

Étape 7

Résolvez $w$ .

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Étape 7.1

Comme $w$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 = 2304 w$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $w$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $2304 w$ des deux côtés de l’équation.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 - 2304 w = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2304 w$ de $- 864 w$ .

$9 w^{2} - 3168 w + 20736 = 0$

Étape 7.3

Factorisez $9$ à partir de $9 w^{2} - 3168 w + 20736$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 w^{2}$ .

$9 (w^{2}) - 3168 w + 20736 = 0$

Étape 7.3.2

Factorisez $9$ à partir de $- 3168 w$ .

$9 (w^{2}) + 9 (- 352 w) + 20736 = 0$

Étape 7.3.3

Factorisez $9$ à partir de $20736$ .

$9 w^{2} + 9 (- 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Étape 7.3.4

Factorisez $9$ à partir de $9 w^{2} + 9 (- 352 w)$ .

$9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Étape 7.3.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304$ .

$9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ par $9$ .

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $w^{2} - 352 w + 2304$ par $1$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = \frac{0}{9}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = 0$

Étape 7.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 352$ et $c = 2304$ dans la formule quadratique et résolvez pour $w$ .

$\frac{352 \pm \sqrt{{(- 352)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2304)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.1.1

Élevez $- 352$ à la puissance $2$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 1 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2304$ .

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Étape 7.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2304$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 9216}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.3

Soustrayez $9216$ de $123904$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{114688}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.4

Réécrivez $114688$ comme $128^{2} \cdot 7$ .

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Étape 7.7.1.4.1

Factorisez $16384$ à partir de $114688$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{16384 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.4.2

Réécrivez $16384$ comme $128^{2}$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{128^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$

Étape 7.7.3

Simplifiez $\frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$ .

$w = 176 \pm 64 \sqrt{7}$

Étape 7.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}, 176 - 64 \sqrt{7}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$ vrai.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Forme décimale :

$w = 345.32808390 \dots$