Mathématiques de base Exemples

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y^{2} - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 18 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 18 y$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y + y \cdot - 18}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 18$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} + 2 y - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 4, (y - 2) (y + 4), y - 2$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $y + 4$ est $y + 4$ lui-même.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $y - 2$ est $y - 2$ lui-même.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $y + 4$ est $y + 4$ lui-même.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $y - 2$ est $y - 2$ lui-même.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $y + 4, y - 2, y + 4, y - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(y + 4) (y - 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ par $(y + 4) (y - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ par $(y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(y + 1) (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.2

Développez $(y + 1) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y - 2) + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - 2 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} - 2 y + y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y^{2} - 2 y + y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $(y + 4) (y - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $(y + 4) (y - 2)$ à partir de $(y - 2) (y + 4)$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) (1)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) \cdot 1} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - y - 2 = y (y - 18) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - y - 2 = y \cdot y + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.4

Déplacez $- 18$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 \cdot y - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y + 4}{y - 2}$ dans le numérateur.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $y - 2$ à partir de $(y + 4) (y - 2)$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - (y + 4) (y + 4)$

Étape 3.3.1.6

Élevez $y + 4$ à la puissance $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} (y + 4))$

Étape 3.3.1.7

Élevez $y + 4$ à la puissance $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1})$

Étape 3.3.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} = y^{2} - y - 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} = - y - 2$

Étape 4.2.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y = - 2$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + 0 + y = - 2$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $- 18 y - {(y + 4)}^{2}$ et $0$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + y = - 2$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez ${(y + 4)}^{2}$ comme $(y + 4) (y + 4)$ .

$- 18 y - ((y + 4) (y + 4)) + y = - 2$

Étape 4.2.4.2

Développez $(y + 4) (y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 18 y - (y (y + 4) + 4 (y + 4)) + y = - 2$

Étape 4.2.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) + y = - 2$

Étape 4.2.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Étape 4.2.4.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

Étape 4.2.4.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) + y = - 2$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $4 y$ et $4 y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 8 y + 16) + y = - 2$

Étape 4.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 18 y - y^{2} - (8 y) - 1 \cdot 16 + y = - 2$

Étape 4.2.4.5

Simplifiez

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Étape 4.2.4.5.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 1 \cdot 16 + y = - 2$

Étape 4.2.4.5.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 16 + y = - 2$

Étape 4.2.5

Soustrayez $8 y$ de $- 18 y$ .

$- y^{2} - 26 y - 16 + y = - 2$

Étape 4.2.6

Additionnez $- 26 y$ et $y$ .

$- y^{2} - 25 y - 16 = - 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 25 y - 16 + 2 = 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 16$ et $2$ .

$- y^{2} - 25 y - 14 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 25$ et $c = - 14$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $- 25$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 1 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 14$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 14$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 56}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.3

Soustrayez $56$ de $625$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{- 2}$

Étape 4.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

Forme décimale :

$y = - 24.42686044 \dots, - 0.57313955 \dots$