Mathématiques de base Exemples

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

Étape 1

Soustrayez $11 \cdot 10^{3 y}$ des deux côtés de l’équation.

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Étape 2

Réécrivez $10^{6 y}$ comme une élévation à une puissance.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Étape 3

Réécrivez $10^{3 y}$ comme une élévation à une puissance.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

Étape 4

Remplacez $10^{y}$ par $u$ .

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

Étape 5

Multipliez $- 11$ par $u^{3}$ .

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $u^{6}$ comme ${(u^{3})}^{2}$ .

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Étape 6.2.2

Laissez $u = u^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{3}$ par $u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Étape 6.2.3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Étape 6.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Étape 6.2.3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Étape 6.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Étape 6.2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Étape 6.2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Étape 6.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{3}$ .

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 u^{3} + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $3 u^{3} + 1$ égal à $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 u^{3} + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 u^{3} = - 1$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u^{3} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u^{3} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $u^{3}$ par $1$ .

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

Étape 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 6.4.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.4.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

Étape 6.4.2.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

Étape 6.4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Étape 6.4.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Étape 6.4.2.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

Étape 6.4.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Étape 6.4.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Étape 6.4.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Étape 6.4.2.4.7.2

Élevez $\sqrt[3]{3}$ à la puissance $1$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Étape 6.4.2.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Étape 6.4.2.4.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Étape 6.4.2.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ comme $3$ .

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Étape 6.4.2.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3}$ comme $3^{\frac{1}{3}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 6.4.2.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 6.4.2.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Étape 6.4.2.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Étape 6.4.2.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Étape 6.4.2.4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Étape 6.4.2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Étape 6.4.2.4.8.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Étape 6.5

Définissez $u^{3} - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $u^{3} - 4$ égal à $0$ .

$u^{3} - 4 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $u^{3} - 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{3} = 4$

Étape 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ vraie.

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ dans $u = 10^{y}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

Étape 8

Résolvez $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ .

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Aucune solution

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sqrt[3]{4}$ dans $u = 10^{y}$ .

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

Étape 10

Résolvez $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ .

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

Étape 10.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

Étape 10.3

Développez le côté gauche.

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Étape 10.3.1

Développez $\log (10^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

Étape 10.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

Étape 10.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Forme décimale :

$y = 0.20068666 \dots$