Mathématiques de base Exemples

$\frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}} = 5^{p}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{5^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3}}{5^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4

Placez $5^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{p} = 125 \cdot 25 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Étape 5

Multipliez $125$ par $25$ .

$5^{p} = 3125 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Étape 6

Réécrivez $3125$ comme $5^{5}$ .

$5^{p} = 5^{5} \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5^{p} = 5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Étape 8

Multipliez $5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3}$ par $5^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5^{p} = 5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3 - \frac{1}{3}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$5^{p} = 5^{5 + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.4

Associez $5$ et $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5^{p} = 5^{\frac{5 \cdot 4 + 3}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$5^{p} = 5^{\frac{20 + 3}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.6.2

Additionnez $20$ et $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.7

Pour écrire $\frac{23}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 8.8

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.9.1

Multipliez $\frac{23}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}}$

Étape 8.9.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}}$

Étape 8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3 - 4}{12}}$

Étape 8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.11.1

Multipliez $23$ par $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{69 - 4}{12}}$

Étape 8.11.2

Soustrayez $4$ de $69$ .

$5^{p} = 5^{\frac{65}{12}}$

Étape 9

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$p = \frac{65}{12}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$p = \frac{65}{12}$

Forme décimale :

$p = 5.41\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$p = 5 \frac{5}{12}$