Mathématiques de base Exemples

$93000 = 20000 ((\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02}) - 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ .

$20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Étape 2

Additionnez $1$ et $0.02$ .

$20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ par $20000$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ par $20000$ .

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $20000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1$ par $1$ .

$\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $1$ à partir de $1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.4

Factorisez $0.02$ à partir de $0.02$ .

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02 (1)} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.5

Séparez les fractions.

$\frac{1}{0.02} \cdot \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.6

Divisez $1$ par $0.02$ .

$50 \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.7

Divisez ${1.02}^{n + 1} - 1$ par $1$ .

$50 ({1.02}^{n + 1} - 1) - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} + 50 \cdot - 1 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.2.9

Multipliez $50$ par $- 1$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 50 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 50$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93000}{20000}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $93000$ et $20000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $1000$ à partir de $93000$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 (93)}{20000}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $1000$ à partir de $20000$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93}{20}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Ajoutez $51$ aux deux côtés de l’équation.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51$

Étape 4.2

Pour écrire $51$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51 \cdot \frac{20}{20}$

Étape 4.3

Associez $51$ et $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + \frac{51 \cdot 20}{20}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 51 \cdot 20}{20}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $51$ par $20$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 1020}{20}$

Étape 4.5.2

Additionnez $93$ et $1020$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ par $50$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ par $50$ .

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Étape 5.2.1.2

Divisez ${1.02}^{n + 1}$ par $1$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{1113}{20}$ par $\frac{1}{50}$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20 \cdot 50}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $20$ par $50$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{1000}$

Étape 6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.02}^{n + 1}) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Étape 7

Développez $\ln ({1.02}^{n + 1})$ en déplaçant $n + 1$ hors du logarithme.

$(n + 1) \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Étape 8

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez $(n + 1) \ln (1.02)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$n \ln (1.02) + 1 \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Étape 8.1.2

Multipliez $\ln (1.02)$ par $1$ .

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) - \ln (\frac{1113}{1000}) = 0$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02}{\frac{1113}{1000}}) = 0$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02 (\frac{1000}{1113})) = 0$

Étape 11.2

Multipliez $1.02 (\frac{1000}{1113})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Associez $1.02$ et $\frac{1000}{1113}$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02 \cdot 1000}{1113}) = 0$

Étape 11.2.2

Multipliez $1.02$ par $1000$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1020}{1113}) = 0$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $1020$ et $1113$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Factorisez $3$ à partir de $1020$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 (340)}{1113}) = 0$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $1113$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{340}{371}) = 0$

Étape 12

Soustrayez $\ln (\frac{340}{371})$ des deux côtés de l’équation.

$n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ par $\ln (1.02)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ par $\ln (1.02)$ .

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.02)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Forme décimale :

$n = 4.40630648 \dots$