Mathématiques de base Exemples

$r \cdot (R - H) = R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$

Étape 1

Résolvez $R \sqrt{H^{2} + r^{2}}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$ .

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r \cdot (R - H)$

Étape 1.2

Simplifiez $r \cdot (R - H)$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R + r (- H)$

Étape 1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$R \sqrt{H^{2} + r^{2}} = r R - r H$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(R \sqrt{H^{2} + r^{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{H^{2} + r^{2}}$ comme ${(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $R {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$R^{2} {({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$R^{2} {(H^{2} + r^{2})}^{1} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

$R^{2} (H^{2} + r^{2}) = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = {(r R - r H)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(r R - r H)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(r R - r H)}^{2}$ comme $(r R - r H) (r R - r H)$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = (r R - r H) (r R - r H)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(r R - r H) (r R - r H)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R - r H) - r H (r R - r H)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R - r H)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r R (r R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r \cdot r R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R \cdot R + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $R$ par $R$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} (R \cdot R) + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $R$ par $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} + r R (- r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r R (r H) - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Déplacez $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - (r \cdot r) R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r H (r R) - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - (r \cdot r) H R - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r H (- r H)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.6.1

Déplacez $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - (r \cdot r) H (- H)$

Étape 3.3.1.3.1.6.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H (- H)$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $H$ par $H$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.7.1

Déplacez $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} (H \cdot H) \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $H$ par $H$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R - r^{2} H^{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.8

Multipliez $- r^{2} H^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + 1 r^{2} H^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.8.2

Multipliez $r^{2}$ par $1$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} R H - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $r^{2} H R$ de $- r^{2} R H$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Déplacez $R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - r^{2} H R - r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Étape 3.3.1.3.2.2

Soustrayez $r^{2} H R$ de $- r^{2} H R$ .

$R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2} = r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2}$

Étape 4

Résolvez $H$ .

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Étape 4.1

Comme $H$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} = R^{2} H^{2} + R^{2} r^{2}$

Étape 4.2

Soustrayez $R^{2} H^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} R^{2} - 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2}$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $H$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $r^{2} R^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $R^{2} r^{2} - r^{2} R^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $R^{2} r^{2}$ et $- r^{2} R^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = R^{2} r^{2} - R^{2} r^{2}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $R^{2} r^{2}$ de $R^{2} r^{2}$ .

$- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Étape 4.4

Factorisez $H$ à partir de $- 2 r^{2} H R + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $H$ à partir de $- 2 r^{2} H R$ .

$H (- 2 r^{2} R) + r^{2} H^{2} - R^{2} H^{2} = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez $H$ à partir de $r^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) - R^{2} H^{2} = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez $H$ à partir de $- R^{2} H^{2}$ .

$H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Étape 4.4.4

Factorisez $H$ à partir de $H (- 2 r^{2} R) + H (r^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H) = 0$

Étape 4.4.5

Factorisez $H$ à partir de $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H) + H (- R^{2} H)$ .

$H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$H = 0$

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Étape 4.6

Définissez $H$ égal à $0$ .

$H = 0$

Étape 4.7

Définissez $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ égal à $0$ et résolvez $H$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H$ égal à $0$ .

$- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$

Étape 4.7.2

Résolvez $- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H = 0$ pour $H$ .

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Étape 4.7.2.1

Ajoutez $2 r^{2} R$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} H - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.2

Factorisez $H$ à partir de $r^{2} H - R^{2} H$ .

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Étape 4.7.2.2.1

Factorisez $H$ à partir de $r^{2} H$ .

$H r^{2} - R^{2} H = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.2.2

Factorisez $H$ à partir de $- R^{2} H$ .

$H r^{2} + H (- R^{2}) = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.2.3

Factorisez $H$ à partir de $H r^{2} + H (- R^{2})$ .

$H (r^{2} - R^{2}) = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.3

Factorisez.

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Étape 4.7.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = R$ .

$H ((r + R) (r - R)) = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$

Étape 4.7.2.4

Divisez chaque terme dans $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ par $(r + R) (r - R)$ et simplifiez.

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Étape 4.7.2.4.1

Divisez chaque terme dans $H (r + R) (r - R) = 2 r^{2} R$ par $(r + R) (r - R)$ .

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Étape 4.7.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $r + R$ .

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Étape 4.7.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{H (r + R) (r - R)}{(r + R) (r - R)} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Étape 4.7.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Étape 4.7.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $r - R$ .

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Étape 4.7.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{H (r - R)}{r - R} = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Étape 4.7.2.4.2.2.2

Divisez $H$ par $1$ .

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $H (- 2 r^{2} R + r^{2} H - R^{2} H) = 0$ vraie.

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$

$H = 0$

$H = \frac{2 r^{2} R}{(r + R) (r - R)}$