Mathématiques de base Exemples

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ comme $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ comme $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $n$ .

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Étape 4.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Étape 4.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ par $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Étape 4.5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Étape 4.6

Simplifiez $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

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Étape 4.6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $2 (1 + 4^{n})$ par $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Étape 4.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Étape 4.6.4

Multipliez $2 \cdot 4^{n}$ .

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Étape 4.6.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Étape 4.6.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Étape 4.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Étape 4.7

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.7.1

Soustrayez $2^{1 + 2 n}$ des deux côtés de l’équation.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.2.1

Développez $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.2.2.1

Multipliez $2^{n}$ par $2^{n}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.1.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.2

Multipliez $2^{n}$ par $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.3

Multipliez $2^{- n}$ par $2^{n}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.2.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.3.2

Additionnez $- n$ et $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.4

Simplifiez $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.5

Multipliez $2^{- n}$ par $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Étape 4.8.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Étape 4.9

Réécrivez $2^{1 + 2 n}$ comme $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.10

Réécrivez $2^{2 n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.11

Réécrivez $2^{- n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.12

Réécrivez $2^{2 n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Étape 4.13

Supprimez les parenthèses.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Étape 4.14

Remplacez $2^{n}$ par $u$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.15.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.15.2

Évaluez l’exposant.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Étape 4.15.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.16

Soustrayez $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Étape 4.17

Résolvez $u$ .

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Étape 4.17.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.17.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, u, 1$

Étape 4.17.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.17.2

Multiplier chaque terme dans $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.17.2.1

Multipliez chaque terme dans $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ par $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.17.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.17.2.2.1.1

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.17.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u^{2}$ .

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Étape 4.17.2.2.1.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.17.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Étape 4.17.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.17.2.3.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Étape 4.17.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.17.3.1

Soustrayez $u$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Étape 4.17.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.17.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.17.3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Étape 4.17.3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Étape 4.17.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 4.17.3.4

Définissez $- u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.17.3.4.1

Définissez $- u + 1$ égal à $0$ .

$- u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.4.2

Résolvez $- u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.17.3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- u = - 1$

Étape 4.17.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- u = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.17.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- u = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.17.3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.17.3.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$u = 1$

Étape 4.17.3.5

Définissez $u^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.17.3.5.1

Définissez $u^{2} + 1$ égal à $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 4.17.3.5.2

Résolvez $u^{2} + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.17.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} = - 1$

Étape 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.17.3.5.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \pm i$

Étape 4.17.3.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.17.3.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i$

Étape 4.17.3.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i$

Étape 4.17.3.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i, - i$

Étape 4.17.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ vraie.

$u = 1, i, - i$

Étape 4.18

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Étape 4.19

Résolvez $1 = 2^{n}$ .

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Étape 4.19.1

Réécrivez l’équation comme $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Étape 4.19.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Étape 4.19.3

Développez $\ln (2^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4.19.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.19.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Étape 4.19.5

Divisez chaque terme dans $n \ln (2) = 0$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 4.19.5.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (2) = 0$ par $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.19.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.19.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.19.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (2)$ .

$n = 0$

Étape 4.20

Remplacez $u$ par $i$ dans $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Étape 4.21

Résolvez $i = 2^{n}$ .

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Étape 4.21.1

Réécrivez l’équation comme $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Étape 4.21.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Étape 4.21.3

Développez $\ln (2^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Étape 4.21.4

Divisez chaque terme dans $n \ln (2) = \ln (i)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 4.21.4.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (2) = \ln (i)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.21.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.21.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.21.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.21.4.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.22

Remplacez $u$ par $- i$ dans $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Étape 4.23

Résolvez $- i = 2^{n}$ .

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Étape 4.23.1

Réécrivez l’équation comme $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Étape 4.23.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Étape 4.23.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- i)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.23.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{n} = - i$

Aucune solution

Étape 4.24

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$