Mathématiques de base Exemples

\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 2

Réécrivez

ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ comme

ln (2^{n} + 2^{- n}) - ln (2)

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

ln (2^{n} + 2^{- n}) - ln (2) = ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 3

Réécrivez

ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ comme

$\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour

$n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Étape 4.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant

$n$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Étape 4.3.4

Multipliez

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ par

$\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Étape 4.4

Réécrivez

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

$x$ et

$b$ sont des nombres réels positifs et

$b$

$\neq$

$1$ ,

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

$b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Étape 4.5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Étape 4.6

Simplifiez

$e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Étape 4.6.1.2

Multipliez

$2 (1 + 4^{n})$ par

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Étape 4.6.3

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Étape 4.6.4

Multipliez

$2 \cdot 4^{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.4.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Étape 4.6.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Étape 4.6.4.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Étape 4.7

Déplacez tous les termes contenant

$n$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Soustrayez

$2^{1 + 2 n}$ des deux côtés de l’équation.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Développez

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.2.1

Multipliez

$2^{n}$ par

$2^{n}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.1.2

Additionnez

$n$ et

$n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.2

Multipliez

$2^{n}$ par

$1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.3

Multipliez

$2^{- n}$ par

$2^{n}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.2.3.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.3.2

Additionnez

$- n$ et

$n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.4

Simplifiez

$2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.7.2.2.5

Multipliez

$2^{- n}$ par

$1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Étape 4.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$n$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Étape 4.8.2

Soustrayez

$1$ de

$2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Étape 4.9

Réécrivez

$2^{1 + 2 n}$ comme

$2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.10

Réécrivez

$2^{2 n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.11

Réécrivez

$2^{- n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Étape 4.12

Réécrivez

$2^{2 n}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Étape 4.13

Supprimez les parenthèses.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Étape 4.14

Remplacez

$2^{n}$ par

$u$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.15.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.15.2

Évaluez l’exposant.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Étape 4.15.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Étape 4.16

Soustrayez

$2 u^{2}$ de

$u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Étape 4.17

Résolvez

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, u, 1$

Étape 4.17.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.17.2

Multiplier chaque terme dans

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ par

$u$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.1

Multipliez chaque terme dans

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ par

$u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.2.1.1

Multipliez

$u^{2}$ par

$u$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.2.1.1.1

Déplacez

$u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.2

Multipliez

$u$ par

$u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.2.1.1.2.1

Élevez

$u$ à la puissance

$1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.1.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.2

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Étape 4.17.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Étape 4.17.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.2.3.1

Multipliez

$u$ par

$1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Étape 4.17.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.1

Soustrayez

$u$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Étape 4.17.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Étape 4.17.3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Étape 4.17.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 4.17.3.4

Définissez

$- u + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.4.1

Définissez

$- u + 1$ égal à

$0$ .

$- u + 1 = 0$

Étape 4.17.3.4.2

Résolvez

$- u + 1 = 0$ pour

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.4.2.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$- u = - 1$

Étape 4.17.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans

$- u = - 1$ par

$- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$- u = - 1$ par

$- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.2.2

Divisez

$u$ par

$1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.17.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.4.2.2.3.1

Divisez

$- 1$ par

$- 1$ .

$u = 1$

Étape 4.17.3.5

Définissez

$u^{2} + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.5.1

Définissez

$u^{2} + 1$ égal à

$0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 4.17.3.5.2

Résolvez

$u^{2} + 1 = 0$ pour

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.5.2.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} = - 1$

Étape 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.17.3.5.2.3

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$u = \pm i$

Étape 4.17.3.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.3.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i$

Étape 4.17.3.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i$

Étape 4.17.3.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i, - i$

Étape 4.17.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ vraie.

$u = 1, i, - i$

Étape 4.18

Remplacez

$u$ par

$1$ dans

$u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Étape 4.19

Résolvez

$1 = 2^{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.1

Réécrivez l’équation comme

$2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Étape 4.19.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Étape 4.19.3

Développez

$\ln (2^{n})$ en déplaçant

$n$ hors du logarithme.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4.19.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1

Le logarithme naturel de

$1$ est

$0$ .

$n \ln (2) = 0$

Étape 4.19.5

Divisez chaque terme dans

$n \ln (2) = 0$ par

$\ln (2)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.1

Divisez chaque terme dans

$n \ln (2) = 0$ par

$\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.2.1

Annulez le facteur commun de

$\ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.2.1.2

Divisez

$n$ par

$1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 4.19.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.3.1

Divisez

$0$ par

$\ln (2)$ .

$n = 0$

Étape 4.20

Remplacez

$u$ par

$i$ dans

$u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Étape 4.21

Résolvez

$i = 2^{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.21.1

Réécrivez l’équation comme

$2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Étape 4.21.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Étape 4.21.3

Développez

$\ln (2^{n})$ en déplaçant

$n$ hors du logarithme.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Étape 4.21.4

Divisez chaque terme dans

$n \ln (2) = \ln (i)$ par

$\ln (2)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.21.4.1

Divisez chaque terme dans

$n \ln (2) = \ln (i)$ par

$\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.21.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.21.4.2.1

Annulez le facteur commun de

$\ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.21.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.21.4.2.1.2

Divisez

$n$ par

$1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Étape 4.22

Remplacez

$u$ par

$- i$ dans

$u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Étape 4.23

Résolvez

$- i = 2^{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.23.1

Réécrivez l’équation comme

$2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Étape 4.23.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Étape 4.23.3

L’équation ne peut pas être résolue car

$\ln (- i)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.23.4

Il n’y a pas de solution pour

$2^{n} = - i$

Aucune solution

Étape 4.24

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$