Mathématiques de base Exemples

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 2 x - 15} + \frac{x - 2}{3 x - 15}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{x^{2} - 2 x - 15} + \frac{x - 2}{3 x - 15}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x + 3)} + \frac{x - 2}{3 x - 15}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 5) (x + 3)} + \frac{x - 2}{3 x - 15}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x - 2}{3 x - 15}$

Étape 1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 15$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x - 2}{3 (x) - 15}$

Étape 1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x - 2}{3 x + 3 \cdot - 5}$

Étape 1.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 5$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} + \frac{x - 2}{3 (x - 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 2}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 (x - 5)}{3 (x - 5)}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3 (x - 5)}{3 (x - 5)} + \frac{x - 2}{3 (x - 5)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x - 2}{3 (x - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3 (x - 5)}{3 (x - 5)} + \frac{x - 2}{3 (x - 5)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) \cdot 3 (x - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 2}{x + 3}$ par $\frac{3 (x - 5)}{3 (x - 5)}$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5))}{(x + 3) (3 (x - 5))} + \frac{x - 2}{3 (x - 5)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 2}{3 (x - 5)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5))}{(x + 3) (3 (x - 5))} + \frac{(x - 2) (x + 3)}{3 (x - 5) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (3 (x - 5))$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5))}{3 (x + 3) (x - 5)} + \frac{(x - 2) (x + 3)}{3 (x - 5) (x + 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $3 (x - 5) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5))}{3 (x + 3) (x - 5)} + \frac{(x - 2) (x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5)) + (x - 2) (x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 3 (x - 5) + (x - 2) (x + 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 3 (x - 5)$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5)) + (x - 2) (x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (3 (x - 5)) + (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (3 (x - 5) + x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 2) (3 x + 3 \cdot - 5 + x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{(x - 2) (3 x - 15 + x + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$\frac{(x - 2) (4 x - 15 + 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 15$ et $3$ .

$\frac{(x - 2) (4 x - 12)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 12$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x) - 12)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{(x - 2) (4 x + 4 \cdot - 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 6.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 3$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 3))}{3 (x + 3) (x - 5)}$

$\frac{(x - 2) \cdot 4 (x - 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$

Étape 7

Déplacez $4$ à gauche de $x - 2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 3)}{3 (x + 3) (x - 5)}$