Mathématiques de base Exemples

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(y - 4)}^{2}$ comme $(y - 4) (y - 4)$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot ((y - 4) (y - 4))$

Étape 1.3

Développez $(y - 4) (y - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y (y - 4) - 4 (y - 4))$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4))$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.4.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 y - 4 y + 16)$

Étape 1.4.2

Soustrayez $4 y$ de $- 4 y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 8 y + 16)$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = \frac{1}{8} y^{2} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $y^{2}$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.6.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 y$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot 16$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.6.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 (2))$

Étape 1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2)$

Étape 1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + 2$

Étape 2

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 = y + 3$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 - y = 3$

Étape 3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 = 3$

Étape 4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 - 3 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y - 1 = 0$

Étape 5

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $8$ , puis simplifiez.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$y^{2} - 16 y + 8 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y^{2} - 16 y - 8 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Additionnez $256$ et $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.3

Additionnez $256$ et $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Étape 9.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 8 + 6 \sqrt{2}$

Étape 10

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.3

Additionnez $256$ et $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Étape 10.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Étape 10.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 8 - 6 \sqrt{2}$

Étape 11

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$y = 16.48528137 \dots, - 0.48528137 \dots$