Mathématiques de base Exemples

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + {(1 + i)}^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.8

Multipliez $4$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.9

Factorisez $i^{2}$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.11

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.12

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.13

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 1.2.13.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.13.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2} + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.2.13.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} + 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.3

Soustrayez $6$ de $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 5 + 4 i - 4 i + 1 + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.4

Additionnez $- 5$ et $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 4 i - 4 i + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.5

Soustrayez $4 i$ de $4 i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 0 + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.6

Additionnez $- 4$ et $0$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + {(1 - i)}^{4}$

Étape 1.7

Utilisez le théorème du binôme.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1^{3} (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 \cdot 1 (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.3

Multipliez $4$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 + 4 (- i) + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot 1^{2} {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.6

Multipliez $6$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 {(- i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.7

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 (1 i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.11

Multipliez $6$ par $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 \cdot 1 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.12

Multipliez $4$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.13

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.15

Factorisez $i^{2}$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (- - i) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.18

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 (1 i) + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.19

Multipliez $i$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- i)}^{4}$

Étape 1.8.20

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Étape 1.8.21

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + 1 i^{4}$

Étape 1.8.22

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + i^{4}$

Étape 1.8.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 1.8.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 1.8.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + {(- 1)}^{2}$

Étape 1.8.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 + 1 - 4 i - 6 + 4 i + 1$

Étape 1.9

Soustrayez $6$ de $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 5 - 4 i + 4 i + 1$

Étape 1.10

Additionnez $- 5$ et $1$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4 - 4 i + 4 i$

Étape 1.11

Additionnez $- 4 i$ et $4 i$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4 + 0$

Étape 1.12

Additionnez $- 4$ et $0$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 4 - 4$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11} - 8$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre ${(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11}$ et $- 8$ .

$- 8 + {(1 + 2 i)}^{33} + {(11 + 2 i)}^{11}$