Mathématiques de base Exemples

${(1 - i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 \cdot 1 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 6 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 6 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.6

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 - 6 i + 15 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 6 i + 15 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 6 i + 15 (1 i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.11

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.13

Multipliez $20$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- - i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (1 i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.22

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.23

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.24

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 (1 i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.25

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.26.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.26.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.27

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.28

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.30

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.31

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.32

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.32.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.32.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.32.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.33

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.34

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.35

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

Étape 2.1.36

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{6}$

Étape 2.1.37

Multipliez $i^{6}$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{6}$

Étape 2.1.38

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{4} i^{2}$

Étape 2.1.39

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.39.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.39.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.39.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{2}$

Étape 2.1.40

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{2}$

Étape 2.1.41

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $15$ de $1$ .

$- 14 - 6 i + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 14$ et $15$ .

$1 - 6 i + 20 i - 6 i - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 6 i + 20 i - 6 i$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $6 i$ de $0$ .

$- 6 i + 20 i - 6 i$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 6 i$ et $20 i$ .

$14 i - 6 i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $6 i$ de $14 i$ .

$8 i$