Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt{9 + 3 \sqrt{5}}) (\sqrt{9 - 3 \sqrt{5}})$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})}$

Étape 2

Développez $(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{9 (9 - 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\sqrt{81 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Étape 3.1.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Étape 3.1.4

Multipliez $3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{1}}$

Étape 3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 45}$

Étape 3.2

Soustrayez $45$ de $81$ .

$\sqrt{36 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5}}$

Étape 3.3

Additionnez $- 27 \sqrt{5}$ et $27 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 + 0}$

Étape 3.4

Additionnez $36$ et $0$ .

$\sqrt{36}$

Étape 4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$6$