Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt{85} - \sqrt{65}) (\sqrt{85} + \sqrt{65})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{85} - \sqrt{65}) (\sqrt{85} + \sqrt{65})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{85} (\sqrt{85} + \sqrt{65}) - \sqrt{65} (\sqrt{85} + \sqrt{65})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{85} \sqrt{85} + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} (\sqrt{85} + \sqrt{65})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{85} \sqrt{85} + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{85 \cdot 85} + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.2

Multipliez $85$ par $85$ .

$\sqrt{7225} + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $7225$ comme $85^{2}$ .

$\sqrt{85^{2}} + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$85 + \sqrt{85} \sqrt{65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$85 + \sqrt{85 \cdot 65} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.6

Multipliez $85$ par $65$ .

$85 + \sqrt{5525} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.7

Réécrivez $5525$ comme $5^{2} \cdot 221$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $5525$ .

$85 + \sqrt{25 (221)} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$85 + \sqrt{5^{2} \cdot 221} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$85 + 5 \sqrt{221} - \sqrt{65} \sqrt{85} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.9

Multipliez $- \sqrt{65} \sqrt{85}$ .

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Étape 2.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$85 + 5 \sqrt{221} - \sqrt{85 \cdot 65} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $85$ par $65$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - \sqrt{5525} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $5525$ comme $5^{2} \cdot 221$ .

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Étape 2.1.10.1

Factorisez $25$ à partir de $5525$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - \sqrt{25 (221)} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - \sqrt{5^{2} \cdot 221} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$85 + 5 \sqrt{221} - (5 \sqrt{221}) - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.12

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - \sqrt{65} \sqrt{65}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- \sqrt{65} \sqrt{65}$ .

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Étape 2.1.13.1

Élevez $\sqrt{65}$ à la puissance $1$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - ({\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65})$

Étape 2.1.13.2

Élevez $\sqrt{65}$ à la puissance $1$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - ({\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1})$

Étape 2.1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - {\sqrt{65}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - {\sqrt{65}}^{2}$

Étape 2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{65}}^{2}$ comme $65$ .

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Étape 2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{65}$ comme $65^{\frac{1}{2}}$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - {(65^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 65^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 65^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 65^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 65^{1}$

Étape 2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 1 \cdot 65$

Étape 2.1.15

Multipliez $- 1$ par $65$ .

$85 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221} - 65$

Étape 2.2

Soustrayez $65$ de $85$ .

$20 + 5 \sqrt{221} - 5 \sqrt{221}$

Étape 2.3

Soustrayez $5 \sqrt{221}$ de $5 \sqrt{221}$ .

$20 + 0$

Étape 2.4

Additionnez $20$ et $0$ .

$20$