Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt{7 + \sqrt{5}}) (\sqrt{7 - \sqrt{5}})$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(7 + \sqrt{5}) (7 - \sqrt{5})}$

Étape 2

Développez $(7 + \sqrt{5}) (7 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 (7 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (7 - \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (7 - \sqrt{5})}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Étape 3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 3.1.4.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Étape 3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{1}}$

Étape 3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5}$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ de $49$ .

$\sqrt{44 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5}}$

Étape 3.3

Additionnez $- 7 \sqrt{5}$ et $7 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{44 + 0}$

Étape 3.4

Additionnez $44$ et $0$ .

$\sqrt{44}$

Étape 4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$\sqrt{4 (11)}$

Étape 4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{11}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \sqrt{11}$

Forme décimale :

$6.63324958 \dots$