Mathématiques de base Exemples

$(2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$

Étape 1

Développez $(2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \sqrt{3} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 {\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot 3^{1} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$8 \cdot 3 + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.3

Multipliez $8$ par $3$ .

$24 + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.4

Multipliez $2 \sqrt{3} (2 \sqrt{5})$ .

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$24 + 4 \sqrt{5 \cdot 3} + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.5

Multipliez $2 \sqrt{5} (4 \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{3 \cdot 5} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.5.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$

Étape 2.1.6

Multipliez $2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 2.1.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Étape 2.1.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Étape 2.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{2}$

Étape 2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{1}$

Étape 2.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 4 \cdot 5$

Étape 2.1.8

Multipliez $4$ par $5$ .

$24 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15} + 20$

Étape 2.2

Additionnez $24$ et $20$ .

$44 + 4 \sqrt{15} + 8 \sqrt{15}$

Étape 2.3

Additionnez $4 \sqrt{15}$ et $8 \sqrt{15}$ .

$44 + 12 \sqrt{15}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$44 + 12 \sqrt{15}$

Forme décimale :

$90.47580015 \dots$