Mathématiques de base Exemples

$(2 i + 3 j + 5 k) \cdot (i + 3 j + 2 k)$

Étape 1

Développez $(2 i + 3 j + 5 k) (i + 3 j + 2 k)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 i i + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $2 i i$ .

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Étape 2.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 (i^{1} i) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 (i^{1} i^{1}) + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 i^{1 + 1} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 i^{2} + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \cdot - 1 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 i (3 j) + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 2 + 6 i j + 2 i (2 k) + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 j (3 j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j \cdot j + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.7

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 (j \cdot j) + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.7.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 3 \cdot 3 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 j (2 k) + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 3 \cdot 2 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 k (3 j) + 5 k (2 k)$

Étape 2.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 5 \cdot 3 k j + 5 k (2 k)$

Étape 2.12

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 k (2 k)$

Étape 2.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k \cdot k$

Étape 2.14

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.1

Déplacez $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 (k \cdot k)$

Étape 2.14.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 5 \cdot 2 k^{2}$

Étape 2.15

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 2 + 6 i j + 4 i k + 3 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Étape 3

Additionnez $6 i j$ et $3 j i$ .

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Étape 3.1

Déplacez $i$ .

$- 2 + 6 j i + 3 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Étape 3.2

Additionnez $6 j i$ et $3 j i$ .

$- 2 + 9 j i + 4 i k + 9 j^{2} + 6 j k + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Étape 4

Additionnez $4 i k$ et $5 k i$ .

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Étape 4.1

Déplacez $i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 4 k i + 5 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Étape 4.2

Additionnez $4 k i$ et $5 k i$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 9 k i + 15 k j + 10 k^{2}$

Étape 5

Additionnez $6 j k$ et $15 k j$ .

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Étape 5.1

Déplacez $k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 6 j k + 15 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Étape 5.2

Additionnez $6 j k$ et $15 j k$ .

$- 2 + 9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2}$

Étape 6

Déplacez $- 2$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 9 k i + 10 k^{2} - 2$

Étape 7

Déplacez $9 k i$ .

$9 j i + 9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 k i - 2$

Étape 8

Déplacez $9 j i$ .

$9 j^{2} + 21 j k + 10 k^{2} + 9 j i + 9 k i - 2$