Mathématiques de base Exemples

$4 a^{4} - 65 a^{2} + 16 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = a^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

$u = a^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ et dont la somme est $b = - 65$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 65$ à partir de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 65$ comme $- 1$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 16 = 0$

Étape 4

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 5

Définissez $u - 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 16$ égal à $0$ .

$u - 16 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 16$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u - 1) (u - 16) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, 16$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = a^{2}$ dans l’équation résolue.

$a^{2} = \frac{1}{4}$

${(a^{2})}^{1} = 16$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $a$ .

$a^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 9.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \pm \frac{1}{2}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$a = \frac{1}{2}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$a = - \frac{1}{2}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 16$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$a^{2} = 16$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{16}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \pm 4$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$a = 4$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$a = - 4$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$a = 4, - 4$

Étape 12

La solution à $4 a^{4} - 65 a^{2} + 16 = 0$ est $a = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 4, - 4$ .

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 4, - 4$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 4, - 4$

Forme décimale :

$a = 0.5, - 0.5, 4, - 4$