Mathématiques de base Exemples

$6^{a + 2} = 64 \cdot 3^{a + 2}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (6^{a + 2}) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Étape 2

Développez $\ln (6^{a + 2})$ en déplaçant $a + 2$ hors du logarithme.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64 \cdot 3^{a + 2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (64 \cdot 3^{a + 2})$ comme $\ln (64) + \ln (3^{a + 2})$ .

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + \ln (3^{a + 2})$

Étape 4

Développez $\ln (3^{a + 2})$ en déplaçant $a + 2$ hors du logarithme.

$(a + 2) \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(a + 2) \ln (6)$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a \ln (6) + 2 \ln (6) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (6)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$a \ln (6) + \ln (6^{2}) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Étape 5.1.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + (a + 2) \ln (3)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (64) + (a + 2) \ln (3)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + 2 \ln (3)$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (3^{2})$

Étape 5.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = \ln (64) + a \ln (3) + \ln (9)$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (64 \cdot 9)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $64$ par $9$ .

$a \ln (6) + \ln (36) = a \ln (3) + \ln (576)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$a \ln (6) + \ln (36) - a \ln (3) - \ln (576) = 0$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36}{576}) = 0$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $36$ et $576$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 (1)}{576}) = 0$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $36$ à partir de $576$ .

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 16}) = 0$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$a \ln (6) - a \ln (3) + \ln (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 5.6

Soustrayez $\ln (\frac{1}{16})$ des deux côtés de l’équation.

$a \ln (6) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 5.7

Factorisez $a$ à partir de $a \ln (6) - a \ln (3)$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $a$ à partir de $a \ln (6)$ .

$a (\ln (6)) - a \ln (3) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 5.7.2

Factorisez $a$ à partir de $- a \ln (3)$ .

$a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 5.7.3

Factorisez $a$ à partir de $a (\ln (6)) + a (- 1 \ln (3))$ .

$a (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 5.8

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$

Étape 5.9

Divisez chaque terme dans $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ par $\ln (6) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 5.9.1

Divisez chaque terme dans $a (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{16})$ par $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 5.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (6) - \ln (3)$ .

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Étape 5.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 5.9.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- \ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 5.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = - \frac{\ln (\frac{1}{16})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forme décimale :

$a = 4$