Mathématiques de base Exemples

$a^{2} = \sqrt{2} a + 1$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{2} a$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} - \sqrt{2} a = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} - \sqrt{2} a - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Additionnez $2$ et $4$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Forme décimale :

$a = 1.93185165 \dots, - 0.51763809 \dots$