Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a + 6}$ comme ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ .

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2 a}}^{2}$ comme $2 a$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a}$ comme ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{2 a}$ comme $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{2 a}$ comme $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $\sqrt{2 a}$ de $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

Étape 3

Résolvez $- 2 \sqrt{2 a}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ .

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 2 \sqrt{2 a}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 a$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

Étape 3.2.3

Soustrayez $2 a$ de $a$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ de $6$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a}$ comme ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Factorisez le signe négatif.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.9

Simplifiez

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- a + 5)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(- a + 5)}^{2}$ comme $(- a + 5) (- a + 5)$ .

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(- a + 5) (- a + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $5 a$ de $- 5 a$ .

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

Étape 6

Résolvez $a$ .

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Étape 6.1

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $8 a$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8 a$ de $- 10 a$ .

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

Étape 6.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 18$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3

Soustrayez $100$ de $324$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $224$ comme $4^{2} \cdot 14$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $224$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

Étape 6.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ vrai.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Forme décimale :

$a = 16.48331477 \dots$