Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 + i}{3 + 4 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + i}{3 + 4 i}$ par le conjugué de $3 + 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}$

Étape 2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Développez $(1 + i) (3 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 - 4 i) + i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 4 i) + i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 4 i) + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 1 (- 4 i) + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 4 i$ par $1$ .

$\frac{3 - 4 i + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 \cdot i + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $i (- 4 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 (i^{1} i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 (i^{1} i^{1})}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 i^{1 + 1}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 \cdot - 1}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i + 4}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7 - 4 i + 3 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 4 i$ et $3 i$ .

$\frac{7 - i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $(3 + 4 i) (3 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - i}{3 (3 - 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{7 - i}{9 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 12 i$ et $12 i$ .

$\frac{7 - i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{7 - i}{9 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{7 - i}{9 + 16}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{7 - i}{25}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{7 - i}{25}$ en deux fractions.

$\frac{7}{25} + \frac{- i}{25}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{25} - \frac{i}{25}$