Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} = a + b \sqrt{7}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} - \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{\sqrt{11} + \sqrt{7}}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{(\sqrt{11} - \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}$

Étape 2.2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{{\sqrt{11}}^{2} + \sqrt{77} - \sqrt{77} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Élevez $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Étape 2.3.2

Élevez $\sqrt{11} + \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1}}{4}$

Étape 2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{{(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}}{4}$

Étape 2.4

Réécrivez ${(\sqrt{11} + \sqrt{7})}^{2}$ comme $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Étape 2.5

Développez $(\sqrt{11} + \sqrt{7}) (\sqrt{11} + \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{11} + \sqrt{7})}{4}$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $11$ par $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.3

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{11 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.6

Multipliez $11$ par $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 11} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.8

Multipliez $7$ par $11$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7 \cdot 7}}{4}$

Étape 2.6.1.10

Multipliez $7$ par $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{49}}{4}$

Étape 2.6.1.11

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + \sqrt{7^{2}}}{4}$

Étape 2.6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a + b \sqrt{7} = \frac{11 + \sqrt{77} + \sqrt{77} + 7}{4}$

Étape 2.6.2

Additionnez $11$ et $7$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + \sqrt{77} + \sqrt{77}}{4}$

Étape 2.6.3

Additionnez $\sqrt{77}$ et $\sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{18 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $18 + 2 \sqrt{77}$ et $4$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \sqrt{77}}{4}$

Étape 2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{77}$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})}{4}$

Étape 2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9 + 2 (\sqrt{77})$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{4}$

Étape 2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 (2)}$

Étape 2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$a + b \sqrt{7} = \frac{2 \cdot (9 + \sqrt{77})}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$a + b \sqrt{7} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Étape 3

Soustrayez $b \sqrt{7}$ des deux côtés de l’équation.

$a = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} - b \sqrt{7}$