Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{3}{5} \cdot ({(a b)}^{3} b^{3} a^{- 5})}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{3}{5} \cdot {(a b)}^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $a b$ .

$\frac{\frac{3}{5} \cdot (a^{3} b^{3}) b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{3}{5} \cdot a^{3} b^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $a^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3}}{5} b^{3} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{3 a^{3}}{5}$ et $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3}}{5} b^{3} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.3

Associez $\frac{3 a^{3} b^{3}}{5}$ et $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3} b^{3}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.4

Multipliez $b^{3}$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1

Déplacez $b^{3}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} (b^{3} b^{3})}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{3 + 3}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{6}}{5} a^{- 5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{3 a^{3} b^{6}}{5}$ et $a^{- 5}$ .

$\frac{\frac{3 a^{3} b^{6} a^{- 5}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.6

Multipliez $a^{3}$ par $a^{- 5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.1

Déplacez $a^{- 5}$ .

$\frac{\frac{3 (a^{- 5} a^{3}) b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 a^{- 5 + 3} b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.3.6.3

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$\frac{\frac{3 a^{- 2} b^{6}}{5}}{3 b^{- 3} a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.4

Placez $b^{- 3}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{\frac{3 a^{- 2} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 \frac{1}{a^{2}} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.5.2

Associez les exposants.

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Étape 1.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{\frac{\frac{3}{a^{2}} b^{6}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.5.2.2

Associez $\frac{3}{a^{2}}$ et $b^{6}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}}}{5} b^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.6

Associez $\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}}}{5}$ et $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6}}{a^{2}} b^{3}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.7

Associez $\frac{3 b^{6}}{a^{2}}$ et $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{6} b^{3}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.8

Multipliez $b^{6}$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1

Déplacez $b^{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{3 (b^{3} b^{6})}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\frac{3 b^{3 + 6}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.8.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2}}}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.9.2

Associez.

$\frac{\frac{3 b^{9} \cdot 1}{a^{2} \cdot 5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.9.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{a^{2} \cdot 5}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.9.4

Déplacez $5$ à gauche de $a^{2}$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{5 \cdot a^{2}}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.9.5

Multipliez $5$ par $a^{2}$ .

$\frac{\frac{3 b^{9}}{5 a^{2}}}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{2}} \cdot \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.11

Associez.

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{2} (3 a^{2})} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.12

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 (a^{2} a^{2}) \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{2 + 2} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.12.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 b^{9} \cdot 1}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.13

Multipliez $3 b^{9}$ par $1$ .

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 b^{9}}{5 a^{4} \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{1}{5} \cdot (b^{9} a^{- 4})$

Étape 1.15

Supprimez les parenthèses.

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{1}{5} \cdot b^{9} a^{- 4}$

Étape 1.16

Associez $\frac{1}{5}$ et $b^{9}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9}}{5} a^{- 4}$

Étape 1.17

Associez $\frac{b^{9}}{5}$ et $a^{- 4}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 a^{4}, 5$

Étape 2.2

Since $5 a^{4}, 5$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5$ then find LCM for the variable part $a^{4}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $5, 5$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 2.6

Les facteurs pour $a^{4}$ sont $a \cdot a \cdot a \cdot a$ , qui correspond à $a$ multipliés entre eux $4$ fois.

$a^{4} = a \cdot a \cdot a \cdot a$

$a$ se produit $4$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $a^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a \cdot a \cdot a \cdot a$

Étape 2.8

Simplifiez $a \cdot a \cdot a \cdot a$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} \cdot a \cdot a$

Étape 2.8.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 2.8.2.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1} \cdot a$

Étape 2.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2 + 1} \cdot a$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{3} \cdot a$

Étape 2.8.3

Multipliez $a^{3}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.3.1

Multipliez $a^{3}$ par $a$ .

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Étape 2.8.3.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{3} \cdot a^{1}$

Étape 2.8.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{3 + 1}$

Étape 2.8.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$a^{4}$

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun pour $5 a^{4}, 5$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 a^{4}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$ par $5 a^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{b^{9}}{5 a^{4}} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5}$ par $5 a^{4}$ .

$\frac{b^{9}}{5 a^{4}} (5 a^{4}) = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{b^{9}}{5 a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 a^{4}$ .

$5 \frac{b^{9}}{5 (a^{4})} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{b^{9}}{5 a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{b^{9}}{a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $a^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b^{9}}{a^{4}} a^{4} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$b^{9} = \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} (5 a^{4})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$b^{9} = 5 \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} a^{4}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$b^{9} = 5 \frac{b^{9} a^{- 4}}{5} a^{4}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$b^{9} = b^{9} a^{- 4} a^{4}$

Étape 3.3.3

Multipliez $a^{- 4}$ par $a^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1

Déplacez $a^{4}$ .

$b^{9} = b^{9} (a^{4} a^{- 4})$

Étape 3.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b^{9} = b^{9} a^{4 - 4}$

Étape 3.3.3.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$b^{9} = b^{9} a^{0}$

Étape 3.3.4

Simplifiez $b^{9} a^{0}$ .

$b^{9} = b^{9}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$b = b$

Étape 4.2

Résolvez $a$ .

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Étape 4.2.1

Déplacez tous les termes contenant $b$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$b - b = 0$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $b$ de $b$ .

$0 = 0$

Étape 4.2.2

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$