Mathématiques de base Exemples

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Étape 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $a^{2}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $a + 5, a - 5$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Les facteurs pour $a^{2}$ sont $a \cdot a$ , qui correspond à $a$ multipliés entre eux $2$ fois.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ se produit $2$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $a^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a \cdot a$

Étape 2.8

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2}$

Étape 2.9

Le facteur pour $a + 5$ est $a + 5$ lui-même.

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $a - 5$ est $a - 5$ lui-même.

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $a + 5, a - 5$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(a + 5) (a - 5)$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ par $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ par $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $a^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.2

Développez $(a + 5) (a - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.3

Associez les termes opposés dans $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a \cdot - 5$ et $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.3.2

Additionnez $- 5 a$ et $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.3.3

Additionnez $a \cdot a$ et $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $9$ par $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $(a + 5) (a - 5)$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Factorisez $(a + 5) (a - 5)$ à partir de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.2.2

Additionnez $9 a^{2}$ et $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ par $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Étape 3.3.3

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Étape 3.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Étape 3.3.4

Déplacez $5$ à gauche de $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Étape 3.3.5

Développez $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Étape 3.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Étape 3.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.6.1.1

Multipliez $a^{3}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1.1.1

Multipliez $a^{3}$ par $a$ .

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Étape 3.3.6.1.1.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.3

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1.3.1

Déplacez $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.3.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 3.3.6.1.3.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Étape 3.3.6.1.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Étape 3.3.6.2

Additionnez $- 5 a^{3}$ et $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Étape 3.3.6.3

Additionnez $a^{4}$ et $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Étape 4.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $25 a^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Étape 4.2.2

Ajoutez $225$ aux deux côtés de l’équation.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $25 a^{2}$ de $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Étape 4.4

Remplacez $u = a^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Étape 4.5

Factorisez $u^{2} - 50 u + 225$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $225$ et dont la somme est $- 50$ .

$- 45, - 5$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Étape 4.7

Définissez $u - 45$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $u - 45$ égal à $0$ .

$u - 45 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 45$

Étape 4.8

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 45) (u - 5) = 0$ vraie.

$u = 45, 5$

Étape 4.10

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = a^{2}$ dans l’équation résolue.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Étape 4.11

Résolvez la première équation pour $a$ .

$a^{2} = 45$

Étape 4.12

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Étape 4.12.2

Simplifiez $\pm \sqrt{45}$ .

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Étape 4.12.2.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.12.2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Étape 4.12.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 4.12.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Étape 4.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$a = 3 \sqrt{5}$

Étape 4.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Étape 4.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Étape 4.13

Résolvez la deuxième équation pour $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 5$

Étape 4.14

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.14.1

Supprimez les parenthèses.

$a^{2} = 5$

Étape 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Étape 4.14.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.14.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$a = \sqrt{5}$

Étape 4.14.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$a = - \sqrt{5}$

Étape 4.14.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 4.15

La solution à $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ est $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Forme décimale :

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$