Mathématiques de base Exemples

$a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b + 10 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = b^{2} - 6 b + 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (b^{2} - 6 b + 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} - 4 (- 6 b) - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 b^{2} + 24 b - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $40$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 b^{2} + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 b^{2} + 24 b - 36$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 24 b - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $24 b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2}) + 4 (6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- b^{2}) + 4 (6 b)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- b^{2} + 6 b) + 4 (- 9)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 6 (b) - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $6$ comme $3$ plus $3$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + (3 + 3) b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b^{2} + 3 b + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b^{2} + 3 b) + 3 b - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (b (- b + 3) - 3 (- b + 3))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- b + 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- b + 3) (b - 3))}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- b + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- b$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) + 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b) - 1 \cdot - 3) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b) - 1 (- 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.4

Réécrivez $- (b - 3)$ comme $- 1 (b - 3)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1 (b - 3)) (b - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.5

Élevez $b - 3$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.6

Élevez $b - 3$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 ((b - 3) (b - 3)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $- 4 {(b - 3)}^{2}$ comme ${(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- 1) {(b - 3)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 {(b - 3)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.3

Déplacez $- 1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} {(b - 3)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.4

Réécrivez $2^{2} {(b - 3)}^{2}$ comme ${(2 (b - 3))}^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{{(2 (b - 3))}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) \sqrt{- 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 (b - 3) i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b + 2 \cdot - 3) i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.11

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b - 6) i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm (2 b i - 6 i)}{2}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - 1 + b i - 3 i$

$a = - 1 - b i + 3 i$